1- Considere a correspondência g definida por:

g(x) = y tal que

a) Mostre que define uma função e determine o seu domínio e contradomínio;

b) Prove que g não é a função arcsen;

c) Relacione a função g com a função arcsen.

2- Considere a função real de variável real definida por

a) Indique, justificando adequadamente:

i) Os pontos de descontinuidade, caso existam;

ii) A função primeira derivada;

iii) A monotonia e os extremos relativos, caso existam;

iv) As equações das assímptotas, caso existam;

v) As concavidades e os pontos de inflexão, caso existam.

b) Esboce o gráfico de , indicando no gráfico onde estão representadas cada uma das propriedades obtidas na alínea anterior.

c) Obtenha a função primitiva de caso exista e caso seja possível obtê-la como soma finita de funções elementares.

3- Calcule

fazendo a substituição = 2 sen t

4- Calcule:

a)

b)

c) (k é uma constante real positiva)

5- O número de bactérias numa cultura aumenta de 600 para 1800 em duas horas. Supondo que a taxa de variação do número de bactérias seja directamente proporcional ao número de bactérias presente, determine:

a) Uma fórmula segundo a qual possamos obter o número de bactérias nessa cultura em cada instante .

b) O número de bactérias ao fim de 4 horas.

7- a) Mostre que a fórmula da primitivação por partes se pode obter da fórmula da derivação de um produto de duas funções.

b) As imagens seguintes mostram a utilização de uma calculadora gráfica para traçar o gráfico de uma curva definida em coordendas polares por :

Faça as observações que entender adequadas sobre a eficácia e correcção deste procedimento.