Resolução
da questão 5 da Prova escrita de Matemática A de 2012
Para responder a esta questão, observemos que nos é dada a equação
da função f e, como sabemos, o declive da reta tangente no ponto a é
a imagem do mesmo ponto no gráfico da função derivada de f, f'(x).
Ora, se $$f(x)=ln(\frac{x}{3}+2)$$ então $$f'(x)=\frac{1}{x+6}$$ e
$$f'(a)=\frac{1}{a+6}$$.
Para descobrir o declive da reta tangente, $$r$$, no ponto $$a$$,
usemos a informação de que a sua inclinação é de
$$\frac{\pi}{4}rad$$, ou seja, o declive será $$1=\arctan(\frac{\pi}{4})$$.
Ora, $$f'(a)=1=\frac{1}{a+6}$$
ou, equivalentemente, a=-5.
Como podemos verificar na figura que se segue, onde estão
traçados os gráficos das funções f'(x) e y=1 e o ponto de
interseção, (-5,1).
Na seguinte tabela estão apresentadas as opções de resposta e o
declive da reta que lhe é tangente.
Opções
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Declive da reta tangente
no respetivo ponto
|
(A) $$-4$$
|
$$f'(-4)=\frac{1}{2}$$
|
(B)
$$-\frac{9}{2}$$
|
$$f'(-\frac{9}{2})=\frac{2}{3}$$ |
(C)
$$-\frac{11}{2}$$
|
$$f'(-\frac{11}{2})=2$$ |
(D) $$-5$$
|
$$f'(-5)=1$$ |
Como se pode verificar, apenas a resposta (D) -5 está
correta!