Aula 1 6/09/2011 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. Pré-requisitos. Capítulo 1. Anéis (revisitados). 1. Divisibilidade. Elementos primos e irredutíveis. Relação de divisibilidade. Relação "associado de". Ideais principais. Primos e irredutíveis num domínio de integridade.
Aula 2 9/09/2011 Resolução dos exercícios 1.1 e 1.3. Elementos primos e irredutíveis em domínios de ideais principais. Ideais primos e maximais.
Aula 3 13/09/2011 2. Domínios de factorização única. Definição. Exemplos. Propriedades. Exercícios 1.2 e 1.5.
Aula 4 16/9/2011 Todo o DIP é um DFU. Máximo divisor comum e mínimo divisor comum. Propriedades. Fórmula de cálculo num DFU. Generalização do Teorema de Euclides: num DFU que não é corpo, existe uma infinidade de primos. Exercício 1.6.
Aula 5 20/9/2011 Exercícios 1.8 e 1.9. 3. Domínios de factorização única e polinómios. Estudo do domínio D[x] quando D é um DFU: Determinação dos elementos irredutíveis. Prova de que D[x] admite factorizações em irredutíveis. Exercício 1.7.
Aula 6 23/9/2011 Conclusão do Exercício 1.7. Exercício 1.11. Prova de que as factorizações em irredutíveis em D[x] são únicas.
Aula 7 27/9/2011 Lema de Gauss. Conclusão da prova de que D[x] é um DFU sempre que D o é. Exercícios 1.12 e 1.16.
Aula 8 30/9/2011 Critérios de Eisenstein e das raízes fraccionárias. 4. Domínios Euclidianos Motivação, definição e exemplos. Observações. Prova de que todo o domínio euclidiano é um dip.
Aula 9 4/10/2011 Exercício 1.17. Algoritmo de Euclides. Exemplos em Z[i]. Conclusão da secção. Exercícios 1.13, 1.18 e 1.19.
Aula 10 7/10/2011 5. Teoremas do isomorfismo para anéis.
Aula 11 11/10/2011 Teste escrito. Resolução do teste. Capítulo II- Módulos Exemplos motivadores.
Aula 12 14/10/2011 Módulos sobre um anel unitário: definição e exemplos. Propriedades básicas. Submódulos. Homomorfismos. Exercício 2.2.
Aula 13 18/10/2011 Quocientes. Projecção canónica. Teoremas do isomorfismo. Módulo gerado por um conjunto. Somas. Produtos directos e somas directas. Respectivas propriedades universais. Exercícios 2.3 e 2.4. Somas directas externas e internas. Caracterizações.
Aula 14 21/10/2011 Exercício 2.5. Independência linear. Conjunto gerador. Bases. Módulos livres. Exemplos. Módulo livre gerado por um conjunto. Caracterizações de módulos livres.
Aula 15 25/10/2011 Sucessões exactas. Lema dos Cinco. Exercício 2.7. Aniquilador de um elemento. Elementos livres. Torção. Pode haver módulos livres com bases de diferente cardinalidade? Casos finito e infinito. Anéis de invariância dimensional. Exemplos: anéis de divisão, anéis comutativos. Dimensão.
Aula 16 28/10/2011 Exemplos de módulos livres. Exercício 2.12. Transformações multilineares. Produtos tensoriais.
Aula 17 4/11/2011 Produtos tensoriais: definição, propriedade universal, unicidade, conjunto gerador, propriedades básicas. Produtos tensoriais de módulos livres. Exemplos. Exercícios 2.13 e 2.14.
Aula 18 8/11/2011 Conclusão da aula anterior. Extensão do anel dos escalares de um dado módulo. Exemplos. Propriedades. Módulos sobre domínios de integridade. Exercício 2.8. Submódulo de torção. Módulos de torção e módulos livres de torção. Exemplos.
Aula 19 11/11/2011 Exercício 2.16. Propriedades do submódulo de torção. Estendendo D ao seu corpo de fracções: espaço vectorial associado a um D-módulo. Propriedades. Característica. Propriedades. Invariante não completo.
Aula 20 15/11/2011 Módulos sobre domínios de ideias principais. Propriedades. Módulos de tipo finito sobre dips: um módulo destes é livre sse é livre de torsão. Teste escrito.
Aula 21 18/11/2011 Revisitação: somas directas internas. Classificação de módulos de tipo finito sobre dip: decomposição em factores cíclicos invariantes.
Aula 22 22/11/2011 Cálculo dos factores invariantes: equivalência de matrizes com coeficientes num d.i.p.; diagonalização; algoritmos. Exercício 2.18. Classificação de módulos de tipo finito sobre d.i.p.: decomposição em factores cíclicos primários (Lema).
Aula 23 25/11/2011 Teorema da decomposição em factores cíclicos primários. Divisores elementares. Exemplos. Exercício 2.21. Relação entre os factores invariantes e os divisores elementares.
Aula 24 29/11/2011 Exercício 2.24. III - Álgebra Comutativa Módulos e anéis noetherianos. Caracterizações. Exemplos. Teorema (da Base) de Hilbert.
Aula 25 2/12/2011 Operações com ideais: soma, produto, intersecção, quociente, radical. Exemplos. Propriedades do radical. Exercícios 3.3 e 3.4.
Aula 26 6/12/2011 Exercício 3.3(d). Exercício 3.2 (a)(b)(c). Topologia de Zariski. Ideais primários. Exemplos. Propriedades. Ideais irredutíveis. Teorema de Laskner-Noether.
Aula 27 9/12/2011 Exercícios 3.5 e 3.6. Exemplos de ideais primários. Determinação de radicais. Ideais maximais. Ideais maximais de K[x1,...xn].
Aula 28 13/12/2011 Correspondência (de Galois) entre os subconjuntos de Kn e os ideais de K[x1,...,xn]. Conjuntos algébricos. O Teorema dos zeros de Hilbert. Correspondência biunívoca entre os conjuntos algébricos de Kn e os ideais radicais de K[x1,...,xn]. Às variedades algébricas correspondem os ideais primos.
Aula 29 16/12/2011 Prova de frequência.