Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Duração: 2h30m 18/01/06

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do exame permaneça não negativa). Nas outras questões justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos.

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) A divisão de polinómios é sempre possível em ℤ_{16}[x].

(b) Se n ∈ ℕ é um número primo então ⟨n⟩ é um ideal maximal de ℤ.

(c) ℚ(u) = ℚ(u^{2} + u + 1), onde u^{2} + u − 6 = 0.

(d) Se L é uma extensão finita de K e [L : K] é um número primo, então L é uma extensão simples de K.

(e) O código (5,2)-linear binário definido pela matriz [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ]

corrige erros duplos.

2. Seja A = (ℚ, +, ∗), onde + denota a adição usual de racionais e ∗ é definida por a ∗ b = 2ab.

(a) Mostre que A é um anel comutativo com identidade.

(b) Determine um subanel de A que seja isomorfo ao anel usual (ℤ, +, ·) dos inteiros, descrevendo o isomorfismo (e justificando que é de facto um isomorfismo).

3. Determine:

(a) O inverso de θ^{2} − 6θ + 8 na extensão simples ℚ(θ), onde θ satisfaz θ^{3} − 6θ^{2} + 9θ + 3 = 0.

(b) [ℚ(\sqrt{3}, θ) : ℚ] onde θ^{2} + \sqrt{3}θ + 3 = 0.

(c) O número de elementos do corpo 𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + 1⟩.

4. Prove que:

(a) Se K é um corpo, o anel de polinómios K[x] é de ideais principais.

(b) Se K não é um corpo, o anel de polinómios K[x] não é necessariamente de ideais principais.

5. Mostre que:

(a) O corpo 𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + x + 4⟩ é isomorfo a 𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + 1⟩.

(b) A soma de todos os elementos de um corpo finito, com a excepção de 𝔽_{2}, é 0.

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