Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Soluções 18/01/06

1.  V F
(a) A divisão euclidiana de polinómios é sempre possível em ℤ_{16}[x].  ×

[Por exemplo, é impossível fazer a divis~ ao pelo polinómio
constante 2, uma vez que 2, sendo um divisor de zero de ℤ_{16},
n~ ao é invertível.]

(b) Se n ∈ ℕ é um número primo então ⟨n⟩ é um ideal maximal de ℤ.  ×

[ O ideal ⟨n⟩ é maximal se e só se o anel quociente ℤ/⟨n⟩
é um corpo.  Mas ℤ/⟨n⟩ ≅ ℤ_{n}, e ℤ_{n} é um corpo precisamente
quando n é primo, pelo que a afirmaç~ ao é verdadeira.]

(c) ℚ(u) = ℚ(u^{2} + u + 1), onde u^{2} + u − 6 = 0.  ×

[Como u^{2} + u = 6, ent~ ao ℚ(u^{2} + u + 1) = ℚ(7) = ℚ.  Por outro lado,
as duas raízes de x^{2} + x − 6 s~ ao racionais (x = 2 ou x = −3),
pelo que também ℚ(u) coincide com ℚ.]

(d) Se L é uma extensão finita de K e [L : K] é um número primo,

então L é uma extensão simples de K.  ×

[Se L é uma extens~ ao finita de K todos os seus elementos s~ ao
algébricos sobre K.  Como [L : K] = p > 1, existe θ ∈ L \ K.

Pelo Teorema da Torre, p = [L : K] = [L : K(θ)][K(θ) : K].

Como θ ∉ K, [K(θ) : K] > 1.  Mas p é primo, donde só pode ser
[K(θ) : K] = p e [L : K(θ)] = 1.  Esta última igualdade diz-nos
que L = K(θ), pelo que L é uma extens~ ao simples de K.]

(e) O código (5,2)-linear binário definido pela matriz [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ]

detecta e corrige erros duplos.  ×

[As palavras deste código s~ ao da forma (x_{5}, x_{4} + x_{5}, x_{4} + x_{5}, x_{4}, x_{5})
com x_{4}, x_{5} ∈ ℤ_{2}.  O código é pois formado por 4 mensagens:

(0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1). Logo a sua

dist^ancia mínima é 3.  Portanto, detecta erros duplos mas só
corrige erros singulares.]

2. (a) Uma vez que + é a adição usual, o par (ℚ, +) é um grupo comutativo. Bastará então verificar que a operação ∗ é associativa, distributiva relativamente à adição e tem elemento neutro: \underline{Associatividade}: Para quaisquer a, b, c ∈ ℚ temos a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (2bc) = 2a2bc = 4abc enquanto (a ∗ b) ∗ c = (2ab) ∗ c = 4abc, pelo que se confirma a propriedade. \underline{Distributividade}: Como ∗ é comutativa basta verificar uma das condições de distributividade: para quaisquer a, b, c ∈ ℚ, a ∗ (b + c) = 2a(b + c) = 2ab + 2ac = (a ∗ b) + (a ∗ c). \underline{Elemento neutro}: 1/2 é elemento neutro de ∗ pois, para qualquer a ∈ ℚ, a ∗ (1/2) = a.

(b) Consideremos S = {a/2 : a ∈ ℤ} ⊆ ℚ, que é claramente um subanel de A: é não vazio e, para quaisquer x = a/2, y = b/2 ∈ S, tem-se x − y = (a/2) − (b/2) = (a − b)/2 ∈ S e x ∗ y = 2xy = 2(a/2)(b/2) = ab/2 ∈ S. Também não é difícil ver que (S, +, ∗) ≅ (ℤ, +, ·): Como, para cada x ∈ S, 2x ∈ ℤ, podemos definir a função

\begin{aligned}f : & (S, +, ∗) & → & (ℤ, +, ·) \\ & x & ↦ & 2x. \end{aligned}

É um homomorfismo de anéis: para quaisquer x, y ∈ S tem-se f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y) e f(x ∗ y) = f(2xy) = 4xy = 2x2y = f(x)f(y). É injectiva: f(x) = f(y) ⇔ 2x = 2y ⇔ x = y. É sobrejectiva: para cada a ∈ ℤ seja x = a/2 ∈ S; evidentemente f(x) = 2(a/2) = a.

3. (a) O polinómio x^{3} − 6x^{2} + 9x + 3, do qual θ é raiz, é irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein, p = 3), logo é o polinómio mínimo m(x) de θ sobre ℚ. Seja f(x) = x^{2}−6x+8. Uma vez que m(x) = xf(x) + x + 3 e f(x) = (x − 9)(x + 3) + 35 (o que confirma que mdc(m(x), f(x)) = 1), então

35 = f(x) − (x − 9)(m(x) − xf(x)) = (x^{2} − 9x + 1)f(x) − (x − 9)m(x),

ou seja,

1 = \frac{1}{35}[(x^{2} − 9x + 1)f(x) − (x − 9)m(x)].

Substituindo x por θ obtemos 1 = \frac{1}{35}(θ^{2} − 9θ + 1)f(θ), o que mostra que

(θ^{2} − 6θ + 8)^{−1} = f(θ)^{−1} = \frac{1}{35}(θ^{2} − 9θ + 1).

(b) Pelo Teorema da Torre,

[ℚ(\sqrt{3}, θ) : ℚ] = [ℚ(\sqrt{3}, θ) : ℚ(\sqrt{3})][ℚ(\sqrt{3}) : ℚ].

Como x^{2} − 3 é irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein, p = 3), trata-se do polinómio mínimo de \sqrt{3} sobre ℚ, donde [ℚ(\sqrt{3}) : ℚ] = 2. Por outro lado, θ é raiz do polinómio x^{2} + \sqrt{3}x + 3 ∈ ℚ(\sqrt{3})[x]. Será este polinómio irredutível sobre ℚ(\sqrt{3})? Pela fórmula resolvente das equações do segundo grau, as suas duas raízes são ^{\frac{−\sqrt{3}±\sqrt{3−12}}{2}} ∈ ℂ \ ℝ, ambas não reais. Logo, pelo critério das raízes, x^{2} + \sqrt{3}x + 3 é irredutível sobre ℚ(\sqrt{3}) ⊆ ℝ, donde [ℚ(\sqrt{3}, θ) : ℚ(\sqrt{3})] = 2. Em conclusão, [ℚ(\sqrt{3}, θ) : ℚ] = 2 × 2 = 4.

(c) Uma vez que

𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + 1⟩ = {p(x) + ⟨x^{2} + 1⟩ | gr(p(x)) ≤ 1}

e existem precisamente 11×11 = 121 polinómios de grau menor que 2 em 𝔽_{11}[x], o corpo 𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + 1⟩ tem 121 elementos.

4. (a) Teorema 2.7 nos Apontamentos:

Seja I um ideal de K[x]. Se I = {0}, então I = ⟨0⟩, que é um ideal principal. Podemos pois admitir que I ≠ {0}. Consideremos então o conjunto N = {n ∈ ℕ_{0} | existe s(x) ∈ I, gr(s(x)) = n}. É claro que, como I ≠ {0}, N é não-vazio, pelo que tem um mínimo. Seja m(x) um polinómio em I de grau igual a esse mínimo (podemos supor que m(x) é mónico; com efeito, se não fosse, isto é, se o coeficiente do termo de maior grau fosse igual a a ≠ 1, poderíamos sempre considerar o polinómio n(x) = a^{−1}m(x) ∈ I). Provemos que I é principal mostrando que I = ⟨m(x)⟩. Como m(x) ∈ I, é óbvio que ⟨m(x)⟩ ⊆ I. Por outro lado, se p(x) ∈ I, usando o algoritmo de divisão temos p(x) = q(x)m(x) + r(x), onde gr(r(x)) < gr(m(x)). Dado que I é um ideal, podemos concluir que r(x) = p(x) − q(x)m(x) ∈ I. Mas então r(x) só pode ser igual a 0 pois, com excepção do polinómio nulo, não pode haver nenhum polinómio em I de grau inferior a gr(m(x)). Assim, p(x) é um múltiplo de m(x) pelo que pertence ao ideal ⟨m(x)⟩.

(b) Por exemplo, para K = ℤ, o ideal ⟨2, x⟩ de K[x] não é principal.

5. (a) Como vimos na alínea (c) de 3, o corpo 𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + 1⟩ tem 121 elementos. Mas o corpo 𝔽_{11}[x]/⟨x^{2} + x + 4⟩ também tem 121 elementos, logo são necessariamente isomorfos (a 𝔽_{121} = 𝔽_{11^{2}}), pelo Teorema de Moore (Corolário 4.3 dos Apontamentos).

(b) Qualquer corpo finito tem sempre um número de elementos igual a uma potência p^{n} de um primo p, e esse corpo é isomorfo a 𝔽_{p}[x]/⟨r(x)⟩ para qualquer polinómio r(x) de grau n irredutível sobre 𝔽_{p}. Os seus elementos são então as classes laterais p(x) + ⟨r(x)⟩ definidas pelos polinómios p(x) de grau inferior a n:

Grau

0:  0  1  2  ⋯  p − 2  p − 1
1:  x  x + 1  x + 2  ⋯  x + p − 2  x + p − 1
2x  2x + 1  2x + 2  ⋯  2x + p − 2  2x + p − 1
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
(p − 2)x  (p − 2)x + 1  (p − 2)x + 2  ⋯  (p − 2)x + p − 2  (p − 2)x + p − 1
(p − 1)x  (p − 1)x + 1  (p − 1)x + 2  ⋯  (p − 1)x + p − 2  (p − 1)x + p − 1
2:  x^{2}  x^{2} + 1  x^{2} + 2  ⋯  x^{2} + p − 2  x^{2} + p − 1
x^{2} + x  x^{2} + x + 1  x^{2} + x + 2  ⋯  x^{2} + x + p − 2  x^{2} + x + p − 1
x^{2} + 2x  x^{2} + 2x + 1  x^{2} + 2x + 2  ⋯  x^{2} + 2x + p − 2  x^{2} + 2x + p − 1
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
x^{2} + (p − 2)x x^{2} + (p − 2)x + 1 x^{2} + (p − 2)x + 2 ⋯ x^{2} + (p − 2)x + p − 2 x^{2} + (p − 2)x + p − 1
x^{2} + (p − 1)x x^{2} + (p − 1)x + 1 x^{2} + (p − 1)x + 2 ⋯ x^{2} + (p − 1)x + p − 2 x^{2} + (p − 1)x + p − 1
2x^{2}  2x^{2} + 1  2x^{2} + 2  ⋯  2x^{2} + p − 2  2x^{2} + p − 1
2x^{2} + x  2x^{2} + x + 1  2x^{2} + x + 2  ⋯  2x^{2} + x + p − 2  2x^{2} + x + p − 1
2x^{2} + 2x  2x^{2} + 2x + 1  2x^{2} + 2x + 2  ⋯  2x^{2} + 2x + p − 2  2x^{2} + 2x + p − 1
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
2x^{2} + (p − 2)x 2x^{2} + (p − 2)x + 1 2x^{2} + (p − 2)x + 2 ⋯ 2x^{2} + (p − 2)x + p − 2 2x^{2} + (p − 2)x + p − 1
2x^{2} + (p − 1)x 2x^{2} + (p − 1)x + 1 2x^{2} + (p − 1)x + 2 ⋯ 2x^{2} + (p − 1)x + p − 2 2x^{2} + (p − 1)x + p − 1
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
n-1:  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯

Não vale a pena listar mais polinómios pois já dá para observar o seguinte:

\underline{Caso 1: p > 2}: Neste caso p é ímpar, logo a soma (em 𝔽_{p}[x]) dos polinómios em cada linha é sempre igual a 0 pois, como p é ímpar, 1 + 2 + ⋯ + p − 2 + p − 1 é igual a

(1 + p − 1) + (2 + p − 2) + ⋯ + (\frac{p − 1}{2} + \frac{p + 1}{2}) = p + p + ⋯ + p = 0.

Portanto, a soma das respectivas classes em 𝔽_{p}[x]/⟨r(x)⟩ dá também 0.

\underline{Caso 2: p = 2, n > 1}: Neste caso a lista de polinómios reduz-se a

Grau

0:  0  1
1:  x  x + 1
2:  x^{2}  x^{2} + 1
x^{2} + x  x^{2} + x + 1
3:  ⋯  ⋯
⋮  ⋮  ⋮
n-1:  x^{n−1}  x^{n−1} + 1
x^{n−1} + x x^{n−1} + x + 1
x^{n−1} + x^{2} x^{n−1} + x^{2} + 1
⋮  ⋮

Agora a soma em cada linha não é 0 mas sim 1. Mas, como o número total de linhas é par (pois o número de polinómios de grau p^{n−1} é igual ao número de polinómios de grau menor que n − 1), a soma total continua a dar 0. Portanto, a soma das respectivas classes em 𝔽_{p}[x]/⟨r(x)⟩ é também igual a 0.

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