Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Duração: 2h30m 10/02/06

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do exame permaneça não negativa). Nas outras questões justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos.

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) O produto dos polinómios x^{4} e x^{6} em ℤ_{7}[x] é x^{3}.

(b) Se K é um corpo, f(x), g(x) ∈ K[x] são mónicos do mesmo grau e f(x) | g(x) então f(x) = g(x).

(c) Se L é uma extensão finita de K e θ ∈ L então o grau de θ é um divisor de [L : K].

(d) \sqrt{2} ∈ ℚ(\sqrt{2} i).

(e) No código (7,4)-linear binário definido pela matriz ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )

a mensagem 1010011 está errada e é corrigida automaticamente como 1110011.

2. Seja A = (ℚ, +, ∗), onde + denota a adição usual de racionais e ∗ é definida por a ∗ b = ab/3.

(a) Mostre que A é um corpo.

(b) Determine um subanel de A que seja isomorfo ao anel usual (ℤ, +, ·) dos inteiros, descrevendo o isomorfismo.

3. (a) Determine [ℚ(\sqrt[3]{2}, θ) : ℚ], onde θ^{2} + \sqrt[3]{2}θ + \sqrt[3]{4} = 0.

(b) Calcule o inverso do elemento x^{2} + 2x + 1 + ⟨x^{3} − 2⟩ no corpo ℚ[x]/⟨x^{3} − 2⟩.

(c) Existe algum corpo com 10 elementos? E com 12 elementos? Num corpo com 512 elementos, a identidade 1 é raiz do polinómio x^{3} + x^{2} + x + 1?

4. Sejam K um corpo e p(x) ∈ K[x]. Prove que:

(a) O ideal I = ⟨p(x)⟩ é maximal se e só se p(x) é irredutível sobre K.

(b) Se p(x) é de grau 2 ou 3, então p(x) é redutível sobre K se e só se existe α ∈ K tal que p(α) = 0.

5. Prove que:

(a) Se um código C de comprimento n em 𝔽_{q} é fechado para a subtracção, então δ(C) é igual a min{ω(c) | c ∈ C, c ≠ 0} (onde ω(c) denota o peso da palavra c).

(b) Se A é um anel, I e J são ideais de A e P é um ideal primo de A, então

IJ ⊆ P ⇒ I ⊆ P ou J ⊆ P.

(\underline{Observação}: IJ denota o conjunto \{ab | a ∈ I, b ∈ J\}.)

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