Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 2A  31/10/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Se C é um corpo, então C[x] é um corpo.  ×

[Nenhum polinómio de grau ≥ 1 em C[x] é invertível.]

(b) 4x + 1 não é uma unidade de ℤ_{8}[x].  ×

[(4x + 1)(4x + 1) = 0x^{2} + 4x + 4x + 1 = 1.]

(c) Para qualquer anel A e quaisquer p(x), q(x) ∈ A[x], tem-se

gr(p(x)q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)).  ×

[O exemplo na alínea anterior mostra que n~ ao.]

(d) Os polinómios 2x e x + 2 de ℤ_{3}[x] são primos entre si.  ×

[2x = 2(x + 2) + 2 pelo que o mdc de 2x e x + 2 é o polinómio
mónico de ℤ_{3}[x] associado de 2, ou seja, 1.]

(e) A função h : ℚ[x] → ℚ definida por h(∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}5^{n}

é um homomorfismo de anéis.  ×

[Por exemplo, h(1) = 1 e h(1 + x) = 10 mas h(2 + x) = 15 ≠ 11.]

2. (a) Calcule o produto (2x^{2} + x + 1)(2x^{2} + 3x + 2) em ℤ_{m}[x], para m = 2, 3, 6.

(2x^{2} + x + 1)(2x^{2} + 3x + 2) = 4x^{4} + 6x^{3} + 4x^{2} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2x^{2} + 3x + 2
= 4x^{4} + 8x^{3} + 9x^{2} + 5x + 2
= \{ \begin{matrix}x^{2} + x & se m = 2 \\ x^{4} + 2x^{3} + 2x + 2 & se m = 3 \\ 4x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 5x + 2 & se m = 6. \end{matrix}

(b) x^{4} + 2x^{3} + 2x + 2 é irredutível em ℤ_{3}[x]?

Não: pela alínea anterior, x^{4} + 2x^{3} + 2x + 2 = (2x^{2} + x + 1)(2x^{2} + 3x + 2), e nenhum destes factores, sendo de grau 2, é uma unidade de ℤ_{3}[x].