Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 2B  2/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Em ℤ_{8}[x], 4x^{2} + 2x + 4 é um divisor de zero.  ×

[4(4x^{2} + 2x + 4) = 0.]

(b) Se A[x] tem divisores de zero, então A tem divisores de zero.  ×

[Sejam p(x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} e q(x) = b_{m}x^{m} + ⋯ + b_{0} dois elementos de A[x], com a_{n} ≠ 0 e b_{m} ≠ 0, tais que p(x)q(x) = 0. Ent~ ao a_{n}b_{m} = 0.]

(c) O anel das matrizes quadradas de ordem 20 com elementos no corpo ℤ_{5}

tem característica 20.  ×

[A característica é claramente 5 e n~ ao 20.]

(d) Em ℤ_{3}[x], mdc(x^{7} + x^{6} + 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 2x, 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 1) = x^{2} + 2.  ×

[x^{7} + x^{6} + 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 2x = (2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 1)(2x^{2} + 2x) donde mdc(x^{7} + x^{6} + 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 2x, 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 1) = x^{5} + 2x^{3} + x^{2} + 2.]

(e) ℝ é uma extensão algébrica de ℚ.  ×

[Por exemplo, pelo Teorema de Lindemann, π ∈ ℝ é transcendente sobre ℚ.]

2. Seja D um domínio de integridade. Mostre que:

(a) Um polinómio redutível em D[x] não tem necessariamente raízes em D.

Por exemplo, x^{4} + 2x + 1 é redutível em ℝ[x], pois x^{4} + 2x + 1 = (x^{2} + 1)^{2}, mas não tem raízes reais.

(b) Se gr(p(x)) ≥ 2 e p(x) tem uma raiz em D, então é redutível em D[x].

Se p(x) tem uma raiz a em D então, pelo Teorema do Resto, p(x) = (x − a)q(x) para algum polinómio q(x) ∈ D[x]. Pela regra dos graus, q(x) tem necessariamente grau ≥ 1, pelo que não é uma unidade de D[x]. Portanto, (x−a)q(x) é uma factorização não trivial de p(x) em D[x], o que mostra que este polinómio é redutível em D[x].