Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 3C  30/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) \sqrt{2} + \sqrt[3]{4} é algébrico sobre ℚ.  ×

[Porque \sqrt{2} e \sqrt[3]{4} s~ ao ambos algébricos sobre ℚ e a soma de
quaisquer dois números algébricos ainda é um número algébrico:

\sqrt{2} + \sqrt[3]{4} ∈ ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{4}) e, como [ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{4}) : ℚ] = 6, os 7 vectores 1,

\sqrt{2}+\sqrt[3]{4}, (\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})^{2}, . . . , (\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})^{6} de ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{4}) s~ ao linearmente dependentes;
isto significa que existem racionais a_{0}, a_{1}, . . . , a_{6} n~ ao todos nulos

tais que a_{0} + a_{1}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{4}) + a_{2}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{4})^{2} + ⋯ + a_{6}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{4})^{6} = 0, ou seja, \sqrt{2} + \sqrt[3]{4} é raiz do polinómio n~ ao nulo a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{6}x^{6} ∈ ℚ[x].]

(b) O polinómio x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 é irredutível sobre ℤ_{5}.  ×

[É irredutível pois n~ ao tem raízes em ℤ_{5}.]

(c) ℚ(2 + \sqrt[3]{4}) = ℚ(\sqrt[3]{2}).  ×

[ℚ(2 + \sqrt[3]{4}) ⊆ ℚ(\sqrt[3]{2}) pois 2 ∈ ℚ e \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^{2} ∈ ℚ(\sqrt[3]{2}). A inclus~ ao

recíproca também é verdadeira pois \sqrt[3]{2} = ^{\frac{(2+ \sqrt[3]{4})^{2}}{2}} − 2 − 2\sqrt[3]{4} ∈ ℚ(2 + \sqrt[3]{4}).]

(d) −θ^{2} + θ é o inverso de \frac{θ+1}{2} na extensão ℚ(θ), onde θ^{3} − θ + 1 = 0.  ×

[\frac{θ+1}{2}(−θ^{2} + θ) = \frac{1}{2}(−θ^{3} + θ^{2} − θ^{2} + θ) = \frac{1}{2}(−θ^{3} + θ) = \frac{1}{2}.]

(e) Um polígono regular de 7 lados pode ser construído com régua e compasso.  ×

[7 n~ ao é um primo de Fermat.]

2. Considere o polinómio p(x) = 8x^{3} − 6x − 1 sobre ℚ.

(a) Mostre que p(x) é irredutível sobre ℚ.

As possíveis raízes racionais de p(x) são: ±1, ±\frac{1}{2}, ±\frac{1}{4}, ±\frac{1}{8}. Nenhuma delas é de facto uma raiz pelo que o polinómio, não tendo raízes em ℚ e sendo de grau 3, é irredutível sobre ℚ.

(b) Construa uma extensão de decomposição de p(x) e determine a sua dimensão.

ℚ[x]/ ⟨p(x)⟩ = {a(x) + ⟨p(x)⟩ | a(x) ∈ ℚ[x]} = {a(x) + ⟨p(x)⟩ | a(x) ∈ ℚ[x], gr(a(x)) ≤ 2}
≅ ℚ(θ),

onde 8θ^{3} − 6θ − 1 = 0. Como x^{3} − \frac{3}{4}x − \frac{1}{8} é o polinómio mínimo de θ sobre ℚ, então [ℚ(θ) : ℚ] = 3.