Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 20m  Teste 1B  26/09/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) As unidades do anel dos inteiros de Gauss ℤ[i] = {a + ib | a, b ∈ ℤ} são {1, −1, i, −i}.

(b) A lei do corte para o produto é válida em qualquer domínio de integridade.

(c) Todo o anel finito é comutativo.

(d) ℕ é um subanel de (ℤ, +, ·).

(e) ℤ/ ⟨12⟩ é um corpo.

(f) {f ∈ ℝ^{ℝ} | f(7) = 0} é um ideal primo do anel (ℝ^{ℝ}, +, ·) das funções reais de variável real.

2. Seja A um anel arbitrário com identidade 1.

(a) Prove que em A, 1 = 1^{−1}.

(b) A equação a + x = b (a, b ∈ A) tem exactamente uma solução em A. O que é que pode dizer sobre a equação ax = b? E sobre a equação x = −x?