Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 20m  Teste 1D  28/09/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Indique quais dos seguintes conjuntos são subanéis ou ideais dos anéis indicados colocando, em cada alínea, uma cruz na coluna correcta. (N: não é um subanel; S: é um subanel mas não é um ideal; I: é um ideal) N S I

(a) O conjunto ℕ dos números naturais em (ℤ, +, ·).

(b) O conjunto ℤ dos números inteiros em (ℚ, +, ·).

(c) O conjunto dos números da forma 2ai, com a ∈ ℝ, em (ℂ, +, ·).

(d) O conjunto {f ∈ ℝ^{ℝ} | f(4) = 0} no anel (ℝ^{ℝ}, +, ·) das funções reais de variável real.

Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(e) Num anel arbitrário A, a^{2} = 1 implica a = 1 ou a = −1.

(f) Para qualquer elemento a ≠ 0 num anel arbitrário A, se a^{n} = 0 para algum n ∈ ℕ, então a é um divisor de zero.

2. Seja A um anel sem divisores de zero. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, senão apresente um contra-exemplo:

(a) −1 ≠ 1.

(b) ab = 1 se e só se ba = 1.