Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 20m  Teste 3C  30/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) \sqrt{2} + \sqrt[3]{4} é algébrico sobre ℚ.

(b) O polinómio x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 é irredutível sobre ℤ_{5}.

(c) ℚ(2 + \sqrt[3]{4}) = ℚ(\sqrt[3]{2}).

(d) −θ^{2} + θ é o inverso de \frac{θ+1}{2} na extensão ℚ(θ), onde θ^{3} − θ + 1 = 0.

(e) Um polígono regular de 7 lados pode ser construído com régua e compasso.

2. Considere o polinómio p(x) = 8x^{3} − 6x − 1 sobre ℚ.

(a) Mostre que p(x) é irredutível sobre ℚ.

(b) Construa uma extensão de decomposição de p(x) e determine a sua dimensão.