Soluções de exercícios seleccionados (capítulos 3 e 4)

3.6. (d) Determine o inverso de θ^{2} − 6θ + 8 na extensão simples ℚ(θ), onde θ ≠ 0 é tal que θ^{4} − 6θ^{3} + 9θ^{2} + 3θ = 0.

O polinómio x^{4} − 6x^{3} + 9x^{2} + 3x = x(x^{3} − 6x^{2} + 9x + 3), do qual θ é raiz, é redutível sobre ℚ. Como θ ≠ 0, então θ é raiz do factor x^{3} − 6x^{2} + 9x + 3. Este polinómio é irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein, p = 3), logo é o polinómio mínimo m(x) de θ sobre ℚ. Seja f(x) = x^{2} − 6x + 8. Uma vez que m(x) = xf(x) + x + 3 e f(x) = (x − 9)(x + 3) + 35 (o que confirma que mdc(m(x), f(x)) = 1), então

35 = f(x) − (x − 9)(m(x) − xf(x)) = (x^{2} − 9x + 1)f(x) − (x − 9)m(x),

ou seja,

1 = \frac{1}{35}[(x^{2} − 9x + 1)f(x) − (x − 9)m(x)].

Substituindo x por θ obtemos 1 = \frac{1}{35}(θ^{2} − 9θ + 1)f(θ), o que mostra que

(θ^{2} − 6θ + 8)^{−1} = f(θ)^{−1} = \frac{1}{35}(θ^{2} − 9θ + 1).

3.9. Seja L uma extensão dum corpo K e θ ∈ L um elemento algébrico de grau n sobre K. Prove que todo o elemento de K(θ) se pode exprimir de modo único na forma a_{0} + a_{1}θ + ⋯ + a_{n−1}θ^{n−1} com a_{i} ∈ K (i = 0, ..., n − 1).

Como θ é algébrico sobre K, K(θ) = K[θ] = {f(θ) | f(x) ∈ K[x]}, como vimos nas aulas. Seja m(x) o polinómio mínimo de θ sobre K. Para cada elemento f(θ) ∈ K[θ], consideremos o polinómio f(x) a ele associado. Dividindo f(x) por m(x) obtemos f(x) = q(x)m(x) + r(x), onde gr(r(x)) < n. Então f(θ) = q(θ)m(θ) + r(θ) = r(θ) e r(θ) é da forma a_{0} + a_{1}θ + ⋯ + a_{n−1}θ^{n−1} com a_{i} ∈ K (i = 0, ..., n − 1). A unicidade desta representação é também simples de provar:

Se f(θ) = r_{1}(θ) = r_{2}(θ), então r_{1}(θ) − r_{2}(θ) = 0. Consideremos o polinómio h(x) = r_{1}(x) − r_{2}(x), que tem grau inferior a n e admite θ por raiz. Como o polinómio mínimo de θ sobre K tem grau n, superior ao de h(x), este tem que ser igual a zero, donde r_{1}(x) = r_{2}(x).

3.13. Seja L uma extensão finita de K. Prove que:

(a) Se [L : K] é um número primo, então L é uma extensão simples de K.

(b) Se θ ∈ L, então o grau de θ é um divisor de [L : K]. Conclua que se tem L = K(θ) se e só se o grau de θ coincidir com [L : K].

(c) Se f(x) ∈ K[x] é irredutível sobre K e o grau de f(x) é um número primo com [L : K] e maior do que 1, então f(x) não tem raízes em L.

(a) Se L é uma extensão finita de K todos os seus elementos são algébricos sobre K. Como [L : K] = p > 1, existe θ ∈ L \ K. Pelo Teorema da Torre,

p = [L : K] = [L : K(θ)][K(θ) : K].  (1)

Como θ ∉ K, [K(θ) : K] > 1. Mas p é primo, donde só pode ser [K(θ) : K] = p e [L : K(θ)] = 1. Esta última igualdade diz-nos que L = K(θ), pelo que L é uma extensão simples de K.

(b) Como, por definição, o grau de θ coincide com [K(θ) : K], por (1) este é um divisor de [L : K] e coincide com [L : K] se e só se [L : K(θ)] = 1, ou seja, L = K(θ).

(c) Suponhamos, por absurdo, que f(x) tinha uma raiz θ em L. Seja m(x) o polinómio mónico associado a f(x). Evidentemente, trata-se do polinómio mínimo de θ sobre K. Portanto, [K(θ) : K] = gr(f(x)) seria um número primo com [L : K], o que é absurdo por (1). Logo f(x) não tem raízes em L.

3.17. (e) Determine o grau sobre ℚ e uma base da extensão ℚ(α, β), onde α^{3} − α + 1 = 0 e β^{2} − β = 1.

Pelo Teorema da Torre, [ℚ(α, β) : ℚ] = [ℚ(α, β) : ℚ(α)][ℚ(α) : ℚ]. Como x^{3} − x + 1 é irredutível sobre ℚ (pois não tem raízes racionais), trata-se do polinómio mínimo de α sobre ℚ. Assim, [ℚ(α) : ℚ] = 3 e {1, α, α^{2}} é uma base desta extensão simples. Portanto, ℚ(α) = {a+bα+cα^{2} | a, b, c ∈ ℚ}. Por outro lado, β é raiz do polinómio f(x) = x^{2}−x−1. Será que este polinómio é irredutível sobre ℚ(α)? Sim, pelo exercício anterior (alínea (c)): f(x) ∈ ℚ[x] é irredutível sobre ℚ e o seu grau é um número primo com [ℚ(α) : ℚ] e maior do que 1, pelo que não tem raízes em ℚ(α). Como é de grau 3 será irredutível sobre ℚ(α). Assim, [ℚ(α, β) : ℚ(α)] = 2 e {1, β é uma base desta extensão simples. Concluindo, [ℚ(α, β) : ℚ] = 6 e {1, α, α^{2}, β, αβ, α^{2}β} é uma base da extensão dupla ℚ(α, β) de ℚ.

3.19. Sejam α^{3} = 2, w uma raiz cúbica da unidade e β = wα. Determine a dimensão e uma base de ℚ(α, β) sobre ℚ.

Pelo Teorema da Torre, [ℚ(α, β) : ℚ] = [ℚ(α, β) : ℚ(α)][ℚ(α) : ℚ]. Como x^{3} − 2 é irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein), trata-se do polinómio mínimo de α sobre ℚ. Assim, [ℚ(α) : ℚ] = 3 e {1, α, α^{2}} é uma base desta extensão simples. Portanto,

ℚ(α) = {a + bα + cα^{2} | a, b, c ∈ ℚ}.

Por outro lado, β é também raiz do polinómio f(x) = x^{3} − 2 (pois β^{3} = w^{3}α^{3} = 2). Será que este polinómio é irredutível sobre ℚ(α)? Mas agora este polinómio já é redutível sobre ℚ(α), uma vez que α é uma das suas raízes. Com efeito, x^{3} − 2 = (x − α)(x^{2} + αx + α^{2}). Agora dois casos podem ocorrer, ou β é raiz do primeiro factor, ou é raiz do segundo factor:

\underline{Caso 1: β = α}. Neste caso ℚ(α, β) = ℚ(α) e o problema já está resolvido (a dimensão é 3 e a base é {1, α, α^{2}}).

\underline{Caso 1: β ≠ α}. Neste caso β é raiz de x^{2} + αx + α^{2}. Agora, para indagarmos da sua irredutibilidade sobre ℚ(α), não podemos utilizar o Exercício 3.13 (c), pois este polinómio não tem coeficientes racionais. Para verificarmos isso não temos outra hipótese senão investigar directamente se tem alguma raiz em ℚ(α), ou seja, se existem racionais a, b e c tais que

(a + bα + cα^{2}) + α(a + bα + cα^{2}) + α^{2} = 0.

Efectuando os cálculos em ℚ(α), esta equação é ainda equivalente a

(a^{2} + 4bc + 2c) + (2ab + 2c^{2} + a)α + (2ac + b^{2} + b + 1)α^{2} = 0.

Como {1, α, α^{2}} é uma base do espaço vectorial ℚ(α) (sobre ℚ), obtemos

\{ \begin{matrix}a^{2} + 4bc + 2c = 0 \\ 2ab + 2c^{2} + a = 0 \\ 2ac + b^{2} + b + 1, \end{matrix}

que é um sistema impossível em ℚ:

Se a, c ≠ 0 então

\{ \begin{matrix}a^{3} + 4abc + 2ac = 0 \\ 4abc + 4c^{3} + 2ac = 0 \end{matrix}

o que implica a^{3} = 4c^{3}, ou seja, a/c = \sqrt[3]{4} ∉ ℚ!!!; para a = 0 ou c = 0 temos b^{2} +b+1 = 0, o que é impossível em ℚ.

Portanto, x^{2} + αx + α^{2} é o polinómio mínimo de β sobre ℚ(α). Concluindo, [ℚ(α, β) : ℚ] = 6 e {1, α, α^{2}, β, αβ, α^{2}β} é uma base da extensão ℚ(α, β) de ℚ.

3.20. Determine para quais dos seguintes polinómios f(x) ∈ K[x] existem extensões K(α) tais que f(x) é o polinómio mínimo de α:

(a) x^{2} − 4, K = ℚ.  (b) x^{3} + x + 2, K = ℤ_{3}.  (c) x^{2} + 1, K = ℤ_{5}.

(a) Como x^{2} − 4 é redutível sobre ℚ (pois tem raízes racionais), não existe nenhuma extensão Q(α) tal que x^{2} − 4 é o polinómio mínimo de α.

(b) x^{3} +x+2 também é redutível sobre ℤ_{3} (pois tem raízes neste corpo), logo não existe nenhuma extensão ℤ_{3}(α) tal que x^{3} + x + 2 é o polinómio mínimo de α.

(c) x^{2} + 1 também é redutível sobre ℤ_{5} (pois tem raízes neste corpo), logo não existe nenhuma extensão ℤ_{5}(α) tal que x^{2} + 1 é o polinómio mínimo de α.

3.21. Para cada uma das extensões de ℚ indicadas averigúe se θ gera a mesma extensão:

(a) θ = 2 + \sqrt[3]{4}, ℚ(\sqrt[3]{2}).

(b) θ = \sqrt{2} + \sqrt{3}, ℚ(\sqrt{2}).

(c) θ = u^{2} + u + 1, ℚ(u), com u^{2} + 5u − 5 = 0.

(a) x^{3} − 2 é o polinómio mínimo de \sqrt[3]{2} sobre ℚ, logo [ℚ(\sqrt[3]{2}) : ℚ] = 3 e ℚ(\sqrt[3]{2}) = \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} | a, b, c ∈ ℚ\}. Então θ ∈ ℚ(\sqrt[3]{2}), pelo que ℚ(θ) ⊆ ℚ(\sqrt[3]{2}). Por outro lado, como θ − 2 = \sqrt[3]{4}, então (θ − 2)^{3} = 4, ou seja, θ é raiz do polinómio x^{3} − 6x^{2} + 12x − 12. Como este polinómio é irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein), é o polinómio mínimo de θ sobre ℚ,o que mostra que também [ℚ(θ) : ℚ] é igual a 3. Concluindo, como ℚ(θ) ⊆ ℚ(\sqrt[3]{2}) e dim ℚ(θ) = dim ℚ(\sqrt[3]{2}), as duas extensões coincidem.

(b) Neste caso, as extensões são diferentes, pois θ ∉ ℚ(\sqrt{2}). De facto, θ = \sqrt{2} + \sqrt{3} ∈ ℚ(\sqrt{2}) implicaria \sqrt{2}+\sqrt{3}−\sqrt{2} ∈ ℚ(\sqrt{2}), ou seja, \sqrt{3} ∈ ℚ(\sqrt{2}), o que é um absurdo, pois não existem racionais a e b tais que \sqrt{3} = a + b\sqrt{2}: b = 0 implicaria \sqrt{3} ∈ ℚ; a = 0 e b ≠ 0 implicaria \sqrt{\frac{3}{2}} = b ∈ ℚ e a, b ≠ 0 implicaria \sqrt{2} = \frac{3−a^{2}−2b^{2}}{2ab} ∈ ℚ!!!

(c) Claramente θ ∈ ℚ(u), donde ℚ(θ) ⊆ ℚ(u). Por outro lado, θ = u^{2} + u + 1 = 5 − 5u + u + 1 = 6 − 4u, ou seja, u = \frac{6−θ}{4} ∈ ℚ(θ), o que mostra que também ℚ(θ) ⊇ ℚ(u). Portanto as extensões coincidem.

3.23. Mostre que x^{2} + 1 é irredutível sobre ℤ_{3}. Sendo u uma raiz deste polinómio determine o número de elementos de ℤ_{3}(u) e as tabelas de adição e multiplicação.

Para mostrar a irredutibilidade basta verificar que nenhum elemento de ℤ_{3} é raiz de x^{2}+1. Pelo que vimos na página 84 dos Apontamentos,

ℤ_{3}(u) ≅ \frac{ℤ_{3}[x]}{⟨x^{2} + 1⟩} = \{a_{0} + a_{1}x + ⟨x^{2} + 1⟩ | a_{0}, a_{1} ∈ ℤ_{3}\}.

Denotando 0 + ⟨x^{2} + 1⟩, 1 + ⟨x^{2} + 1⟩, 2 + ⟨x^{2} + 1⟩, x + ⟨x^{2} + 1⟩, 2x + ⟨x^{2} + 1⟩, 1 + x + ⟨x^{2} + 1⟩, 1 + 2x + ⟨x^{2} + 1⟩, 2 + x + ⟨x^{2} + 1⟩ e 2 + 2x + ⟨x^{2} + 1⟩ por, respectivamente, 0, 1, 2, u, a, b, c, d, f, as tabelas das operações são as seguintes:

\begin{matrix}+ & 0 & 1 & 2 & u & a & b & c & d & f \\ 0 & 0 & 1 & 2 & u & a & b & c & d & f \\ 1 & 1 & 2 & 0 & b & c & d & f & u & a \\ 2 & 2 & 0 & 1 & d & f & u & a & b & c \\ u & u & b & d & a & 0 & c & 1 & f & 2 \\ a & a & c & f & 0 & u & 1 & b & 2 & d \\ b & b & d & u & c & 1 & f & 2 & a & 0 \\ c & c & f & a & 1 & b & 2 & d & 0 & u \\ d & d & u & b & f & 2 & a & 0 & c & 1 \\ f & f & a & c & 2 & d & 0 & u & 1 & b \end{matrix}  \begin{matrix}· & 0 & 1 & 2 & u & a & b & c & d & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & u & a & b & c & d & f \\ 2 & 0 & 2 & 1 & a & u & f & d & c & b \\ u & 0 & u & a & 2 & 1 & d & b & f & c \\ a & 0 & a & u & 1 & 2 & c & f & b & d \\ b & 0 & b & f & d & c & a & 2 & 1 & u \\ c & 0 & c & d & b & f & 2 & u & a & 1 \\ d & 0 & d & c & f & b & 1 & a & u & 2 \\ f & 0 & f & b & c & d & u & 1 & 2 & a \end{matrix}

3.25. É possível, usando régua (não graduada) e compasso, construir o ponto

(\sqrt{5\sqrt{2} − 3} + \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}}, 0)

a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0)?

Sejam θ_{1} = \sqrt{5\sqrt{2} − 3} e θ_{2} = \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}}. É fácil de ver que θ_{1} é raiz de p(x) = x^{4}+6x^{2}−41 e θ_{2} é raiz de q(x) = x^{6} − 6x^{4} + 12x^{2} − 10 = 0. O polinómio q(x) é claramente irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein) pelo que [ℚ(θ_{2}) : ℚ] = 6 e θ_{2} não é construtível a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0). Quanto ao polinómio p(x), também é irredutível sobre ℚ, mas dá mais trabalho a verificar isso:

Não tem raízes racionais (as únicas possibilidades, ±1 e ±41, claramente não o são). Assim, se fosse redutível, a única possibilidade de factorização seria como produto de dois polinómios de grau 2: x^{4} + 6x^{2} − 41 = (ax^{2} + bx + c)(a′x^{2} + b′x + c′). Desenvolvendo esta igualdade chegaremos a um sistema de equações, impossível em ℚ, o que confirma que p(x) é, de facto, irredutível sobre ℚ. Portanto, [ℚ(θ_{1}) : ℚ] = 4. Como o recíproco do Teorema 3.8 não é verdadeiro (observação feita a seguir à demonstração do Teorema) não podemos para já concluir da construtibilidade de θ_{1} a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0). No entanto, o que afirmámos na Observação ao Teorema 3.8 dá-nos a resposta: \sqrt{5\sqrt{2} − 3} é construtível pois obtém-se dos números racionais 2, 3 e 5 por sucessivas aplicações das operações de subtracção, multiplicação e raiz quadrada.

Concluindo, θ_{1} + θ_{2} não é construtível a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0) (se fosse, como θ_{1} é, também (θ_{1} + θ_{2}) − θ_{1} = θ_{2} seria).

3.26. Seja p um inteiro primo positivo.

(a) Determine a dimensão e uma base da extensão ℚ(\sqrt{p + \sqrt{p}}) de ℚ.

(b) Será possível construir o ponto (\sqrt{p + \sqrt{p}}, \sqrt{p + \sqrt{p}}) a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0) ?

(a) Denotemos o número \sqrt{p + \sqrt{p}} por θ. Como θ^{2} = p + \sqrt{p}, então (θ^{2} − p)^{2} = p, pelo que θ é raiz do polinómio q(x) = (x^{2} − p)^{2} − p = x^{4} − 2px^{2} + p(p − 1) ∈ ℚ[x]. Pelo critério de Eisenstein, q(x) é irredutível sobre ℚ (basta considerar o primo p). Portanto, q(x) é o polinómio mínimo de θ sobre ℚ, pelo que [ℚ(θ) : ℚ] = 4 e {1, θ, θ^{2}, θ^{3}} é uma base desta extensão.

(b) Sim, pela Observação ao Teorema 3.8 (veja o exercício anterior).

3.29. Seja L uma extensão de ℚ. Determine os ℚ-automorfismos de L para:

(a) L = ℚ(\sqrt{2}).

(c) L = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}).

(a) O elemento \sqrt{2} tem polinómio mínimo x^{2}−2 sobre ℚ. Pela Proposição 3.15, qualquer ℚ-automorfismo Φ : L → L transforma raízes deste polinómio em raízes do mesmo polinómio. Existem, pois, precisamente dois ℚ-automorfismos:

\begin{aligned}Φ\sqrt{2} : & ℚ(\sqrt{2}) & → & ℚ(\sqrt{2}) \\ & a ∈ ℚ & ↦ & a \\ & \sqrt{2} & ↦ & \sqrt{2} \end{aligned}  e  \begin{aligned}Φ_{−\sqrt{2}} : & ℚ(\sqrt{2}) & → & ℚ(\sqrt{2}) \\ & a ∈ ℚ & ↦ & a \\ & \sqrt{2} & ↦ & −\sqrt{2}. \end{aligned}

O primeiro é a identidade e o segundo aplica cada elemento a + b\sqrt{2} de ℚ(\sqrt{2}) em a − b\sqrt{2}.

(c) Cada ℚ-automorfismo Φ : L → L é completamente determinado pela sua acção no conjunto \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}. A restrição Φ|_{ℚ(\sqrt{2})} : ℚ(\sqrt{2}) → L é um homomorfismo injectivo que mantém fixos os elementos de ℚ. Então, pela Proposição 3.15, só há duas possibilidades para esta restrição, como vimos na alínea anterior: é a identidade ou aplica cada elemento a + b\sqrt{2} de ℚ(\sqrt{2}) em a − b\sqrt{2}. Portanto, Φ prolonga o isomorfismo identidade de ℚ(\sqrt{2}) ou prolonga o isomorfismo Φ_{−\sqrt{2}} de ℚ(\sqrt{2}). Usando novamente a Proposição 3.15, como x^{2}−3 é o polinómio mínimo de \sqrt{3} sobre ℚ(\sqrt{2}), estes dois isomorfismos de ℚ(\sqrt{2}) só podem ser prolongados a ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) aplicando \sqrt{3} em \sqrt{3} ou −\sqrt{3}. Portanto, só existem 4 possibilidades para Φ: a identidade e

Φ(\sqrt{2}) = −\sqrt{2}, Φ(\sqrt{3}) = \sqrt{3};
Φ(\sqrt{2}) = \sqrt{2}, Φ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3};
Φ(\sqrt{2}) = −\sqrt{2}, Φ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3}.

O grupo de Galois tem, pois, neste caso, 4 elementos, que designamos respectivamente por Φ_{0}, Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}:

Φ_{0}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3},
Φ_{1}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a − b\sqrt{2} + c\sqrt{3},
Φ_{2}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a + b\sqrt{2} − c\sqrt{3},
Φ_{3}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a − b\sqrt{2} − c\sqrt{3}.

3.30.

(a) Para as extensões L de ℚ do exercício anterior, calcule os respectivos grupos de Galois, Gal(L, ℚ).

(b) Verifique em quais desses casos a correspondência de Galois entre os subgrupos do grupo de Galois e as extensões intermédias (entre ℚ e L) é uma bijecção.

(a) No primeiro caso, Gal(L, ℚ) = \{id, Φ_{−\sqrt{2}}\} é um grupo isomorfo a ℤ_{2}. No segundo caso, o grupo de Galois tem 4 elementos, sendo a tabela do grupo a seguinte:

∘ Φ_{0} Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3}
Φ_{0} Φ_{0} Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3}
Φ_{1} Φ_{1} Φ_{0} Φ_{3} Φ_{2}
Φ_{2} Φ_{2} Φ_{3} Φ_{0} Φ_{1}
Φ_{3} Φ_{3} Φ_{2} Φ_{1} Φ_{0}

Em conclusão, este grupo é isomorfo a ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}.

(b) No primeiro caso, as extensões intermédias são só os próprios ℚ e ℚ(\sqrt{2}). Como ℤ_{2} só tem os dois subgrupos triviais ({0} e o próprio ℤ_{2}), neste caso a correspondência de Galois é uma bijecção. No segundo caso, o diagrama com as extensões intermédias é o seguinte:

[figure: ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}); ℚ(\sqrt{2}); ℚ(\sqrt{3}); ℚ(\sqrt{6}); ℚ]

A lista de subgrupos de Gal(L, ℚ) é {Φ_{0}}, {Φ_{0}, Φ_{1}}, {Φ_{0}, Φ2}, {Φ_{0}, Φ_{3}}, {Φ_{0}, Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}}. Neste caso, também há bijecção.

3.31.

(a) Determine os corpos intermédios entre ℚ e ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}).

(b) Calcule o respectivo grupo de Galois e compare os resultados.

(a) Como 2 × 3 × 5 = 30 tem como divisores 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, as extensões simples entre ℚ e ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}) são ℚ(\sqrt{2}), ℚ(\sqrt{3}), ℚ(\sqrt{5}), ℚ(\sqrt{6}), ℚ(\sqrt{10}), ℚ(\sqrt{15}) e ℚ(\sqrt{30}). Quanto às extensões duplas, temos: ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{6}) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{6}) ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{5}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{10}) = ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{10}) ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{15}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{30}) = ℚ(\sqrt{15}, \sqrt{30}) ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{15}) = ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{15}) ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{10}) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{30}) = ℚ(\sqrt{10}, \sqrt{30}) ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{6}) = ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{30}) = ℚ(\sqrt{6}, \sqrt{30}) ℚ(\sqrt{6}, \sqrt{10}) = ℚ(\sqrt{6}, \sqrt{15}) = ℚ(\sqrt{10}, \sqrt{15}).

O diagrama seguinte mostra-nos todas as extensões intermédias entre ℚ e ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}):

[figure: ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}); ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}); ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{5}); ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{15}); ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}); ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{10}); ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{6}); ℚ(\sqrt{6}, \sqrt{10}); ℚ(\sqrt{2}); ℚ(\sqrt{3}); ℚ(\sqrt{5}); ℚ(\sqrt{6}); ℚ(\sqrt{10}); ℚ(\sqrt{15}); ℚ(\sqrt{30}); ℚ]

(b) Resolvido na aula. Neste caso, Gal(L, ℚ) é isomorfo a ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}.

3.32. Considere a extensão L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}) ⊆ ℝ de ℚ.

(a) Como se define o grupo de Galois de L (sobre ℚ)? Determine-o.

(b) Indique todas as extensões intermédias de ℚ em L.

(c) L é uma extensão de Galois de ℚ? Justifique.

(a) Seja L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}). Cada Φ ∈ Gal(L, ℚ) é completamente determinado pela sua acção no conjunto \{\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}\}. A restrição Φ|_{ℚ(\sqrt{3})} : ℚ(\sqrt{3}) → L é um homomorfismo injectivo que mantém fixos os elementos de ℚ. Então, pela Proposição 3.15, só há duas possibilidades para esta restrição: é a identidade ou aplica cada elemento a + b\sqrt{3} de ℚ(\sqrt{3}) em a−b\sqrt{3}. Portanto, Φ prolonga o isomorfismo identidade de ℚ(\sqrt{3}) ou prolonga o isomorfismo Φ_{−\sqrt{3}} de ℚ(\sqrt{3}). Pela Proposição 3.15, como x^{3} − 2 é o polinómio mínimo de \sqrt[3]{2} sobre ℚ(\sqrt{3}), o número de prolongamentos de Φ a L é igual ao número de raízes distintas de x^{3} − 2 em L, ou seja, um (que corresponde à única raiz \sqrt[3]{2}). Assim, os dois isomorfismos de ℚ(\sqrt{3}) só podem ser prolongados a ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}) aplicando \sqrt[3]{2} em \sqrt[3]{2}, pelo que existem exactamente duas possibilidades para Φ: a identidade ou

Φ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3}, Φ(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}.

O grupo de Galois tem pois dois elementos:

Φ_{0}(a + b\sqrt{3} + c\sqrt[3]{2}) = a + b\sqrt{3} + c\sqrt[3]{2},

Φ_{1}(a + b\sqrt{3} + c\sqrt[3]{2}) = a − b\sqrt{3} + c\sqrt[3]{2}.

Neste caso, Gal(L, ℚ) é isomorfo a ℤ_{2}.

(b) Note que ℚ(\sqrt{3}\sqrt[3]{2}) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}), pelo que as únicas extensões intermédias de ℚ em L são: [figure: ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}); ℚ(\sqrt{3}); ℚ(\sqrt[3]{2}); ℚ]

(c) Não, pois [L : ℚ] = 6 mas |Gal(L, ℚ)| = 2 (e pelo Teorema 3.21, se |Gal(L, K)| é diferente de [L : K], então L não é uma extensão de Galois de K).

3.42. Mostre que se f(x) é um polinómio irredutível de grau 3, então Gal(f(x), ℚ) ≅ A_{3} ou Gal(f(x), ℚ) ≅ S_{3}.

Ver solução do Exercício 3.43.

3.43. Considere um polinómio f(x) irredutível, de grau 3, escrito na sua forma reduzida x^{3} + px + q, e as suas três raízes complexas distintas a, b, e c.

(a) Verifique que \{ \begin{matrix}a + b + c = 0 \\ ab + ac + bc = p \\ abc = −q. \end{matrix}

(b) A partir da alínea anterior, mostre que ((a − b)(a − c)(b − c))^{2} = −4p^{3} − 27q^{2}.

(c) Seja D o número −4p^{3} − 27q^{2} da alínea anterior. Prove que se \sqrt{D} ∈ ℚ e Φ ∈ Gal(f(x), ℚ), então Φ(\sqrt{D}) = \sqrt{D} e, portanto, Gal(f(x), ℚ) ≅ A_{3}.

(d) Prove que se \sqrt{D} ∉ ℚ, então ℚ(\sqrt{D}) está na extensão de decomposição de f(x) e, portanto, Gal(f(x), ℚ) ≅ S_{3}.

(a) Basta observar que x^{3} + px + q = (x − a)(x − b)(x − c) é equivalente a x^{3} + px + q = x^{3} + (−c − a − b)x^{2} + (ab + ac + bc)x − abc.

(b) Basta, com um pouco de paciência, desenvolver ambos os membros (substituindo, no segundo, p por ab + ac + bc e q por −abc), até as expressões coincidirem.

(c) Pela Proposição 3.19, Gal(f(x), ℚ) é isomorfo a um subgrupo de S_{3}. Seja Φ ∈ Gal(f(x), ℚ) = Gal(ℚ(a, b, c), ℚ). Por definição, Φ, sendo um ℚ-automorfismo, terá que preservar os racionais, logo Φ(\sqrt{D}) = \sqrt{D}, isto é, Φ((a − b)(a − c)(b − c)) = (a − b)(a − c)(b − c). Consequentemente,

(Φ(a) − Φ(b))(Φ(a) − Φ(c))(Φ(b) − Φ(c)) = (a − b)(a − c)(b − c).  (2)

Mas Φ permuta as raízes a, b e c entre si. Para que se cumpra (2), essa permutação não pode ser ímpar (se fosse ímpar teríamos

(Φ(a) − Φ(b))(Φ(a) − Φ(c))(Φ(b) − Φ(c)) = −(a − b)(a − c)(b − c)).

Sobram assim só as 3 permutações pares para eventual definição de ℚ-automorfismos de ℚ(a, b, c). Não é difícil ver que todas elas definem de facto ℚ-automorfismos de ℚ(a, b, c), pelo que Gal(ℚ(a, b, c), ℚ) ≅ A_{3}. Esta conclusão também se pode tirar do seguinte: como, pelo Teorema 3.21, se tem |Gal(ℚ(a, b, c), ℚ)| = [ℚ(a, b, c) : ℚ], bastará mostrar que [ℚ(a, b, c) : ℚ] ≥ 3, o que é simples: [ℚ(a, b, c) : ℚ] = [ℚ(a, b, c) : ℚ(a)][ℚ(a) : ℚ] ≥ 3, pois [ℚ(a) : ℚ] = gr(f(x)) = 3.

(d) Neste caso, se \sqrt{D} ∉ ℚ, já Φ(\sqrt{D}) não precisa de ser igual a \sqrt{D}, e as permutações ímpares também definem elementos de Gal(ℚ(a, b, c), ℚ). Consequentemente, Gal(ℚ(a, b, c), ℚ) ≅ S_{3}.

3.47. (a) Sejam p um número primo, e f(x) ∈ ℚ[x] um polinómio irredutível de grau p. Mostre que se f(x) tem exactamente duas raízes complexas não reais, então Gal(f(x), ℚ) é o grupo simétrico S_{p} e portanto f(x) não é resolúvel por radicais.

Basta fazer o mesmo que na demonstração do Corolário 3.28 (Teorema de Abel-Ruffini).

3.48. Mostre que os seguintes polinómios f(x) ∈ ℚ[x] não são resolúveis por radicais:

{(a) 2x^{5} − 10x + 5. \atop (b) 2x^{5} − 5x^{4} + 20.}  {(c) x^{5} − 6x^{2} + 5. \atop (d) x^{7} − 10x^{5} + 15x + 5.}

Fazendo o estudo e esboço das respectivas funções (ou, alternativamente, usando métodos da Matemática Numérica para localização de raízes, ou utilizando algum software como o Mathematica ou Maple) não é difícil confirmar que:

(a) este polinómio tem exactamente 2 raízes complexas não reais. A conclusão segue do Exercício 3.47 (a).

(b) este polinómio tem exactamente 4 raízes complexas não reais. A conclusão segue do Exercício 3.47 (b).

(c) tem exactamente 2 raízes complexas não reais. A conclusão segue do Exercício 3.47 (a).

(d) tem exactamente 2 raízes complexas não reais. A conclusão segue do Exercício 3.47 (a).

4.3. Seja F a extensão de decomposição de x^{2} − 2 ∈ ℤ_{3}[x].

(a) Descreva o corpo F e indique um gerador de F^{∗} = F \ {0}.

(b) Qual é o subcorpo primo de F?

(a) F é o corpo

\frac{ℤ_{3}[x]}{⟨x^{2} − 2⟩} = \{a_{0} + a_{1}x + ⟨x^{2} − 2⟩ | a_{0}, a_{1} ∈ ℤ_{3}\}.

Denotando o elemento a_{0} + a_{1}x + ⟨x^{2} − 2⟩ por a_{0}a_{1}, as tabelas das operações de F são as seguintes:

+ 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 00 01 02 10 11 12 20 21 22
01 01 02 00 11 12 10 21 22 20
02 02 00 01 12 10 11 22 20 21
10 10 11 12 20 21 22 00 01 02
11 11 12 10 21 22 20 01 02 00
12 12 10 11 22 20 21 02 00 01
20 20 21 22 00 01 02 10 11 12
21 21 22 20 01 02 00 11 12 10
22 22 20 21 02 00 01 12 10 11

\begin{matrix}· & 00 & 01 & 02 & 10 & 11 & 12 & 20 & 21 & 22 \\ 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 \\ 01 & 00 & 20 & 10 & 01 & 21 & 11 & 02 & 22 & 12 \\ 02 & 00 & 10 & 20 & 02 & 12 & 22 & 01 & 11 & 21 \\ 10 & 00 & 01 & 02 & 10 & 11 & 12 & 20 & 21 & 22 \\ 11 & 00 & 21 & 12 & 11 & 02 & 20 & 22 & 10 & 01 \\ 12 & 00 & 11 & 22 & 12 & 20 & 01 & 21 & 02 & 10 \\ 20 & 00 & 02 & 01 & 20 & 22 & 21 & 10 & 12 & 11 \\ 21 & 00 & 22 & 11 & 21 & 10 & 02 & 12 & 01 & 20 \\ 22 & 00 & 12 & 21 & 22 & 01 & 10 & 11 & 20 & 02 \end{matrix}

O elemento 11 é um exemplo de gerador de F^{∗}.

(b) {00, 10, 20} ≅ 𝔽_{3}. 4.6. Construa um corpo finito de ordem 16 e determine todos os geradores do seu grupo multiplicativo. Relembre a construção do corpo M nas páginas 88-90 dos Apontamentos. A lista dos elementos primitivos de M é c, f, g, h, i, j, l, n. 4.7. Construa um corpo com 27 elementos.

Uma vez que 27 = 3 × 3 × 3, pelo processo de construção usado no exercício anterior (baseado no Teorema de Kronecker), teremos que começar com um polinómio de grau 3 irredutível sobre 𝔽_{3}. Por exemplo, o polinómio p(x) = x^{3} + 2x + 1. Seja L o corpo

\frac{ℤ_{3}[x]}{⟨p(x)⟩} = \{a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⟨p(x)⟩ | a_{0}, a_{1}, a_{2} ∈ ℤ_{3}\}

constituído pelas 27 classes definidas pelos restos da divisão dos polinómios de coeficientes em ℤ_{3}[x] por p(x). Este corpo terá exactamente 27 elementos. Com um pouco de paciência não será difícil escrever as tabelas das operações de L.

4.8. Indique, justificando, o número de corpos não isomorfos de ordem inferior a 100.

Pelos Teoremas 4.1, 4.3 e 4.4 a lista de corpos não isomorfos de ordem inferior a 100 é a seguinte:

𝔽_{p^{n}} : p primo, n ∈ ℕ, p^{n} < 100.

Portanto, o seu número é dado pelo número de potências de primos, inferiores a 100, ou seja 34:

2, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}, 2^{6}, 3, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}, 5, 5^{2}, 7, 7^{2}
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

4.10. Liste os subcorpos do corpo 𝔽_{256}. Qual deles é o subcorpo primo?

Basta usarmos o Teorema 4.5. Como 256 = 2^{8}, a lista de subcorpos de 𝔽_{256} é 𝔽_{2}, 𝔽_{4}, 𝔽_{16}, 𝔽_{256}. 𝔽_{2} é o subcorpo primo.

4.11. Usando resultados sobre corpos finitos, mostre que se p é um número primo e r divide n, então p^{r} − 1 divide p^{n} − 1.

Se p é um número primo e r divide n, então 𝔽_{p^{r}} é um subcorpo de 𝔽_{p^{n}}. Em particular, (𝔽_{p^{r}})^{∗} = (𝔽_{p^{r}} \ {0}, ·) é um subgrupo de (𝔽_{p^{n}})^{∗} = (𝔽_{p^{n}} \ {0}, ·) pelo que |(𝔽_{p^{r}})^{∗}| = p^{r} − 1 divide |(𝔽_{p^{n}})^{∗}| = p^{n} − 1.

4.13. Através de um comando à distância de uma televisão podem ser efectuadas 20 operações: escolher entre 18 canais diferentes (0–17), aumentar (A) ou diminuir (D) o volume. A tabela indica três códigos decimais para transmitir essa informação.

0  1  2  ⋯  9  10  11 ⋯  17  A  D
C_{1} 00  01  02 ⋯  09  10  11 ⋯  17  18  19
C_{2} 0000 0101 0202 ⋯ 0909 1010 1111 ⋯ 1717 1818 1919
C_{3} 00000 01011 02022 ⋯ 09099 10109 11118 ⋯ 17172 18181 19190

(a) Determine a distância mínima de cada um dos três códigos.

(b) Diga quais dos códigos detectam e/ou corrigem erros singulares.

(c) Um receptor de televisão recebe informação do comando utilizando o terceiro código. Sempre que possível diga o efeito gerado pela recepção das seguintes mensagens: 15154, 13144, 19191.

(a) δ(C_{1}) = 1, δ(C_{2}) = 2 e δ(C_{3}) = 3.

(b) O código C_{2} detecta, mas não corrige, erros singulares, enquanto C_{3} detecta e corrige erros singulares.

(c) A palavra 15154 pertence a C_{3} pelo que o receptor efectua a operação correspondente: muda para o canal 15. A palavra 13144 não pertence a C_{3} pelo que o receptor detecta o erro; no entanto, não realiza nenhuma operação pois não tem capacidade para o corrigir, uma vez que se trata de um erro duplo: d(13144, c) > 1 para qualquer c ∈ C_{3}, havendo mais do que uma palavra a distância 2 de 13144 (nomeadamente, as palavras 13136, 14145 e 15154). A palavra 19191 não pertence a C_{3} pelo que o receptor detecta o erro; como d(19190, 19191) = 1, esse erro é singular e a mensagem correcta é 19190, correspondente à operação D (diminuir o volume).

4.14. Seja C o código (7, 3)-linear binário definido pela matriz

[ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

(a) Qual é o número de palavras de C?

(b) Calcule a distância mínima δ(C). Poderá C detectar erros singulares? E corrigir?

(c) Corrija, caso tal seja possível, os erros nas seguintes mensagens: 0001000, 1011110.

(a) Trata-se de um código sobre 𝔽_{2} com palavras de comprimento 7, com 4 dígitos de controle. Assim, C contém |𝔽_{2}^{3}| = 8 palavras: 0000000, 0010101, 0101110, 1001111, 1100001, 1011010, 0111011, 1110100.

(b) δ(C) = 3. Corrige erros singulares.

(c) A palavra correcta correspondente à mensagem 0001000 é 000000, enquanto que a palavra correcta correspondente à mensagem 1011110 é 1011010.

4.17. As matrizes H_{1}, H_{2} e H_{3} seguintes determinam três códigos lineares binários.

H_{1} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] H_{2} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] H_{3} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ]

Para cada um desses códigos, responda às seguintes questões:

(a) Determine o comprimento do código e o número de dígitos de controlo.

(b) Calcule a distância mínima e descreva o conjunto das mensagens.

(c) Poderão estes códigos ser usados para detectar e/ou corrigir erros singulares?

(d) Supondo que os três últimos dígitos da mensagem são 011, diga se esta mensagem pode pertencer ao código e determine a mensagem completa.

(a) H_{1} e H_{2} definem códigos (5,2)-lineares enquanto H_{3} define um código (7,3)-linear. Portanto, nos dois primeiros casos o comprimento é 5 e há 3 dígitos de controle, enquanto que no segundo o comprimento é 7 e tem 4 dígitos de controle.

(b) (solução para H_{2}) A distância mínima é 3. Uma palavra c = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5} faz parte do código se e só se H_{2}c^{T} = 0, ou seja,

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{5} = 0 \\ x_{2} + x_{4} + x_{5} = 0 \\ x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x_{1} = x_{5} \\ x_{2} = x_{4} + x_{5} \\ x_{3} = x_{4} + x_{5}. \end{matrix}

Portanto, as mensagens são da forma

(x_{5}, x_{4} + x_{5}, x_{4} + x_{5}, x_{4}, x_{5}) = x_{4}(0, 1, 1, 1, 0) + x_{5}(1, 1, 1, 0, 1)

com x_{4}, x_{5} ∈ ℤ_{2} (isto é, o conjunto das mensagens é o subespaço vectorial de ℤ_{2}^{5} gerado pelos vectores (0, 1, 1, 1, 0) e (1, 1, 1, 0, 1)). O código é pois formado por 4 mensagens: (0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1).

(c) (solução para H_{2}) Sim, detecta e corrige erros singulares.

(d) (solução para H_{2}) Sim: (1, 0, 0, 1, 1).