Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Duração: 2h30m 19/01/07

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos.

1. Considere o anel

T_{2}(ℤ) = \{[ \begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix} ] | a, b, c ∈ ℤ\}

das matrizes triangulares superiores sobre ℤ (com a adição e multiplicação usuais de matrizes).

(a) Mostre que I = \{[ \begin{matrix}0 & b \\ 0 & c \end{matrix} ] | b, c ∈ ℤ\} é um ideal de T_{2}(ℤ).

(b) Determine o anel quociente T_{2}(ℤ)/I e mostre que é isomorfo ao anel (ℤ, +, ·).

2. Determine:

(a) O menor subanel de ℤ que contém o 3.

(b) As raízes racionais do polinómio p(x) = 2x^{4} − 7x^{3} − 9x^{2} + 12x − 3 ∈ ℚ[x].

(c) A decomposição de p(x) em factores irredutíveis sobre ℚ.

(d) Uma base da extensão algébrica ℚ(α) (onde α ∉ ℚ e p(α) = 0).

(e) O inverso de α na extensão da alínea anterior.

(f) O grupo de Galois da extensão ℚ(\sqrt[3]{3}) de ℚ.

3. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, caso contrário apresente uma justificação sucinta da sua falsidade:

(a) A função f : ℤ → ℤ definida por f(n) = 3n é um homomorfismo de grupos mas não é um homomorfismo de anéis.

(b) É possível, usando régua e compasso, construir um cubo com volume igual ao de uma esfera dada.

(c) Se A é um anel, o anel de polinómios A[x] é de ideais principais.

(d) Se K é um corpo finito, o número de elementos de K é da forma p^{n}, para algum primo p e algum natural n.

(e) O código (7,4)-linear binário definido pela matriz

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

corrige erros duplos.

4. Seja M um ideal maximal de um anel (A, +, ·). Prove que M é o único ideal primo de A que contém M^{2} = {ab | a, b ∈ M}.

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