Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Duração: 2h30m 7/02/07

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos.

1. Considere o conjunto G = \{ [ \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ] : a ∈ ℤ\}.

(a) Prove que (G, ·), onde · denota a multiplicação usual de matrizes, é um grupo abeliano.

(b) Mostre que (G, ·, ⊙), onde [ \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ⊙ [ \begin{matrix}1 & a′ \\ 0 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & aa′ \\ 0 & 1 \end{matrix} ], é um anel comutativo com identidade.

(c) Para que valores de n ∈ ℕ é que o ideal I_{n} = \{ [ \begin{matrix}1 & na \\ 0 & 1 \end{matrix} ] : a ∈ ℤ\} é um ideal primo?

2. Determine:

(a) A factorização de x^{5} + 15x^{4} + 10x^{3} + 20x + 5 em elementos irredutíveis em ℚ[x] e em ℤ_{2}[x].

(b) Os polinómios mínimos de θ e de θ^{2} sobre ℚ, onde θ é uma raiz não nula do polinómio x^{4} − 4x^{2} + 2x.

(c) O inverso de 2 + \sqrt[3]{4} em ℚ(\sqrt[3]{2});

(d) A dimensão e uma base da extensão ℚ(\sqrt[3]{2}, α) de ℚ, onde 3α^{4} + 7α^{3} − 14α^{2} + 56 = 0.

(e) A característica de um corpo finito com 343 elementos.

3. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, caso contrário apresente uma justificação sucinta da sua falsidade:

(a) Todo o domínio de integridade finito é um corpo.

(b) Existe n ≥ 2 tal que \sqrt[n]{2} é racional.

(c) Num anel comutativo com identidade 1 ≠ 0 todo o ideal maximal é primo.

4. Considere os anéis quociente ℤ_{2}[x]/I sendo I o ideal gerado por (a) 1 + x + x^{3},

(b) x^{2}.

Diga se são corpos e construa as tabelas de ℤ_{2}[x]/ < x^{2} >.

5. Sejam R um domínio de ideais principais, S um domínio de integridade e ϕ : R → S um homomorfismo sobrejectivo. Prove que ϕ é um isomorfismo ou S é um corpo.

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