Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 40m  Teste 1  04/10/06

Os dois primeiros grupos de questões são de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Seja A um anel. Então (a + b)(a − b) = a^{2} − b^{2} para quaisquer a, b ∈ A.

(b) Num anel com identidade, todo o elemento que não é um divisor de zero é invertível.

(c) A função h : ℤ_{3} → ℤ_{3} definida por h(a) = a^{3} é um homomorfismo de anéis.

(d) Todo o corpo finito tem característica positiva prima.

(e) As unidades do anel dos inteiros de Gauss, ℤ[i] = {a + ib | a, b ∈ ℤ}, são precisamente os elementos 1, −1, i, −i.

2. Indique quais dos seguintes conjuntos são subanéis ou ideais primos dos anéis indicados colocando, em cada alínea, uma cruz na coluna correcta: (N: não é um subanel; S: é um subanel mas não é um ideal; I: é um ideal mas não é primo; P: é um ideal primo) N S I P

(a) O conjunto \{x + yi\sqrt{2} | x, y ∈ ℤ\} no anel (ℂ, +, ·).

(b) O conjunto {f : ℤ → ℤ | f(4) = 0} no anel das funções de ℤ em ℤ.

(c) O conjunto {f : ℤ_{6} → ℤ_{6} | f(2) = 0} no anel das funções de ℤ_{6} em ℤ_{6}.

3. Seja A = (ℚ, +, ∗), onde + denota a adição usual de racionais e ∗ é definida por a ∗ b = 2ab.

(a) Mostre que A é um anel comutativo com identidade.

(b) Determine um subanel de A que seja isomorfo ao anel usual (ℤ, +, ×) dos inteiros, descrevendo o isomorfismo (e justificando que se trata de facto de um isomorfismo).