Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 1  04/10/06

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Seja A um anel. Então (a + b)(a − b) = a^{2} − b^{2} para quaisquer a, b ∈ A.  ×

(b) Num anel com identidade, todo o elemento que não é um divisor de zero

é invertível.  ×
(c) A função h : ℤ_{3} → ℤ_{3} definida por h(a) = a^{3} é um homomorfismo de anéis.  ×
(d) Todo o corpo finito tem característica positiva prima.  ×

(e) As unidades do anel dos inteiros de Gauss, ℤ[i] = {a + ib | a, b ∈ ℤ},

são precisamente os elementos 1, −1, i, −i.  ×

2. Indique quais dos seguintes conjuntos são subanéis ou ideais primos dos anéis indicados colocando, em cada alínea, uma cruz na coluna correcta: (N: não é um subanel; S: é um subanel mas não é um ideal; I: é um ideal mas não é primo; P: é um ideal primo) N S I P

(a) O conjunto \{x + yi\sqrt{2} | x, y ∈ ℤ\} no anel (ℂ, +, ·).  ×
(b) O conjunto {f : ℤ → ℤ | f(4) = 0} no anel das funções de ℤ em ℤ.  ×
(c) O conjunto {f : ℤ_{6} → ℤ_{6} | f(2) = 0} no anel das funções de ℤ_{6} em ℤ_{6}.  ×

3. (a) Uma vez que + é a adição usual, o par (ℚ, +) é um grupo comutativo. Bastará então verificar que a operação ∗ é associativa, distributiva relativamente à adição e tem elemento neutro: \underline{Associatividade}: Para quaisquer a, b, c ∈ ℚ temos a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (2bc) = 2a2bc = 4abc enquanto (a ∗ b) ∗ c = (2ab) ∗ c = 4abc, pelo que se confirma a propriedade. \underline{Distributividade}: Como ∗ é comutativa basta verificar uma das condições de distributividade: para quaisquer a, b, c ∈ ℚ, a ∗ (b + c) = 2a(b + c) = 2ab + 2ac = (a ∗ b) + (a ∗ c). \underline{Elemento neutro}: 1/2 é elemento neutro de ∗ pois, para qualquer a ∈ ℚ, a ∗ (1/2) = a.

(b) Consideremos S = {a/2 : a ∈ ℤ} ⊆ ℚ, que é claramente um subanel de A: é não vazio e, para quaisquer x = a/2, y = b/2 ∈ S, tem-se x − y = (a/2) − (b/2) = (a − b)/2 ∈ S e x ∗ y = 2xy = 2(a/2)(b/2) = ab/2 ∈ S. Também não é difícil ver que (S, +, ∗) ≅ (ℤ, +, ·): Como, para cada x ∈ S, 2x ∈ ℤ, podemos definir a função

\begin{aligned}f : & (S, +, ∗) & → & (ℤ, +, ·) \\ & x & ↦ & 2x. \end{aligned}

É um homomorfismo de anéis: para quaisquer x, y ∈ S tem-se f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y) e f(x ∗ y) = f(2xy) = 4xy = 2x2y = f(x)f(y). É injectiva: f(x) = f(y) ⇔ 2x = 2y ⇔ x = y. É sobrejectiva: para cada a ∈ ℤ seja x = a/2 ∈ S; evidentemente f(x) = 2(a/2) = a.