Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 40m  Teste 2  08/11/06

Os dois primeiros grupos de questões são de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Seja A um anel. Então um polinómio p(x) ∈ A[x] de grau n não pode ter mais do que n raízes.

(b) Em ℤ_{5}[x], mdc(x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1, x^{3} + 3x^{2} + x + 3) = x^{2} + 1.

(c) Se p(x) ∈ ℤ[x] é um polinómio mónico, então qualquer raiz racional de p(x) é inteira.

(d) Se D é um domínio de integridade, um polinómio redutível de D[x] tem necessariamente raízes em D.

2. Indique quais dos seguintes polinómios são irredutíveis sobre o anel indicado colocando, em cada alínea, uma cruz na coluna correcta: (S: é irredutível; N: não é irredutível) S N

(a) p(x) = 2x^{50} − x^{49} + 18x^{5} − 9x^{4} + 6x − 3, A = ℚ.

(b) p(x) = 3x + 6, A = ℤ.

3. Sendo I = ⟨x^{2} + x + 1⟩, considere o anel quociente A = ℤ_{2}[x]/I.

(a) A é um corpo?

(b) Qual é o inverso de x^{3} + I?

(c) Determine os elementos de A e as respectivas tabelas da adição e multiplicação.