Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 2  08/11/06

Os dois primeiros grupos de questões são de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Seja A um anel. Então um polinómio p(x) ∈ A[x] de grau n não pode

ter mais do que n raízes.  ×

[Por exemplo, em ℤ_{6}[x], o polinómio x^{2} + x, de grau 2, tem
quatro raízes:  0,2,3,5.]

(b) Em ℤ_{5}[x], mdc(x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1, x^{3} + 3x^{2} + x + 3) = x^{2} + 1.  ×

[Seguindo o Algoritmo de Euclides:

x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1 = (x^{3} + 3x^{2} + x + 3)(x + 3) + 2x^{2} + 2, x^{3} + 3x^{2} + x + 3 = (2x^{2} + 2)(3x + 4). Portanto, ⟨x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1, x^{3} + 3x^{2} + x + 3⟩ = ⟨2x^{2} + 2⟩ = ⟨x^{2} + 1⟩.]

(c) Se p(x) ∈ ℤ[x] é um polinómio mónico, então qualquer raiz racional de p(x) é inteira. × [Se p(x) = x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} e c/d (escrito na forma reduzida) é raiz de p(x), ent~ ao c^{n} + a_{n−1}c^{n−1}d + ⋯ + a_{1}cd^{n−1} + a_{0}d^{n} = 0, isto é, c^{n} = −(a_{n−1}c^{n−1}d + ⋯ + a_{1}cd^{n−1} + a_{0}d^{n}). Como d divide

o segundo membro, terá que dividir o primeiro membro, ou seja c^{n}.
Mas mdc(c, d) = 1, logo necessariamente d = 1 e c/d é inteiro.]

(d) Se D é um domínio de integridade, um polinómio redutível de D[x]

tem necessariamente raízes em D.  ×

[Por exemplo, em ℝ[x], (x^{2} + 1)^{2} é redutível mas n~ ao tem raízes reais.]

2. Indique quais dos seguintes polinómios são irredutíveis sobre o anel indicado colocando, em cada alínea, uma cruz na coluna correcta: (S: é irredutível; N: não é irredutível) S N

(a) p(x) = 2x^{50} − x^{49} + 18x^{5} − 9x^{4} + 6x − 3, A = ℚ.  ×

[Porque p(x) é de grau ≥ 2 e tem uma raiz racional: 1/2.]

(b) p(x) = 3x + 6, A = ℤ.  ×

[Porque p(x) = 3(x + 2), e 3 e x + 2) n~ ao s~ ao invertíveis em ℤ[x].]

3. (a) Sim, uma vez que x^{2} + x + 1 é um polinómio irredutível sobre ℤ_{2} (pois não tem raízes

em ℤ_{2}).

(b) Como x^{3} = (x^{2} + x + 1)(x + 1) + 1, então x^{3} + I = 1 + I. Portanto

(x^{3} + I)^{−1} = (1 + I)^{−1} = 1 + I.

(c) Por definição, ℤ_{2}[x]/I = {f(x) + I | f(x) ∈ ℤ_{2}[x]}. Mas, dividindo f(x) por x^{2} + x + 1, obtemos f(x) = (x^{2} + x + 1)q(x) + r(x) onde gr(r(x)) ≤ 1. É claro que então f(x) + I = r(x) + I. Portanto

ℤ_{2}[x]/I = {r(x) + I | r(x) ∈ ℤ_{2}[x], gr(r(x)) ≤ 1}
= {0 + I, 1 + I, x + I, 1 + x + I}

é constituído pelas classes definidas pelos restos da divisão dos polinómios de coeficientes em ℤ_{2}[x] por x^{2} + x + 1. Denotando 0+I por 0, 1+I por 1, x+I por α e 1+x+I por β, as tabelas das operações de L são as seguintes:

\begin{matrix}+ & 0 & 1 & α & β \\ 0 & 0 & 1 & α & β \\ 1 & 1 & 0 & β & α \\ α & α & β & 0 & 1 \\ β & β & α & 1 & 0 \end{matrix}  \begin{matrix}· & 0 & 1 & α & β \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & α & β \\ α & 0 & α & β & 1 \\ β & 0 & β & 1 & α \end{matrix}

Por exemplo,

α + β = (x + I) + (1 + x + I) = 1 + I = 1

e

αβ = x(1 + x) + I = x + x^{2} + I = 1 + I = 1.