Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 3  06/12/06

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) O polinómio x^{4} + 4x^{2} + 6 é irredutível sobre ℚ mas é redutível sobre ℤ_{11}.  ×

[Sobre ℚ:  pelo Critério de Eiseinstein (p = 2).
Sobre ℤ_{11}:  pelo critério das raízes (1 é raiz).]

(b) ℝ é uma extensão algébrica de ℚ.  ×

[ℝ contém números, como π ou e, que s~ ao transcendentes sobre ℚ,
pelo que se trata de uma extens~ ao transcendente de ℚ.]

(c) O número real \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}} é algébrico sobre ℚ.  ×

[Basta observar que \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}} é raiz do polinómio (x^{2} − 2)^{3} = −2,
que tem coeficientes racionais.]

(d) O número real \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}} é construtível, por régua e compasso, a partir de ℚ.  ×

[A dimens~ ao [ℚ(\sqrt{2 − \sqrt[3]{2}}) : ℚ], sendo igual a 6, n~ ao é uma pot^encia
de 2, pelo que o número n~ ao poderá ser construtível.]

(e) [ℚ(\sqrt[3]{3}, i) : ℚ] = 6.  ×

[Pelo Teorema da Torre, [ℚ(\sqrt[3]{3}, i) : ℚ] = [ℚ(\sqrt[3]{3}, i) : ℚ(\sqrt[3]{3})] [ℚ(\sqrt[3]{3}) : ℚ].

O polinómio mínimo de \sqrt[3]{3} sobre ℚ é o polinómio x^{3} − 3, pelo que
[ℚ(\sqrt[3]{3}) : ℚ] = 3.  Por outro lado, x^{2} + 1 é o polinómio mínimo de i
sobre ℚ(\sqrt[3]{3}) (a irredutibilidade segue do facto das suas duas
raízes n~ ao serem reais e ℚ(\sqrt[3]{3}) ⊂ ℝ).  Portanto, [ℚ(\sqrt[3]{3}, i) : ℚ(\sqrt[3]{3})] = 2,

donde [ℚ(\sqrt[3]{3}, i) : ℚ] = 6.]

2. Determine o inverso do elemento θ^{2}−6θ+8 de ℚ(θ), onde θ é raiz do polinómio x^{3}−6x^{2}+9x+3. O polinómio x^{3} − 6x^{2} + 9x + 3 é irredutível sobre ℚ (pelo critério de Eisenstein, p = 3), logo é o polinómio mínimo m(x) de θ sobre ℚ. Seja f(x) = x^{2} − 6x + 8. Uma vez que m(x) = xf(x) + x + 3 e f(x) = (x − 9)(x + 3) + 35 (o que confirma que mdc(m(x), f(x)) = 1), então

35 = f(x) − (x − 9)(m(x) − xf(x)) = (x^{2} − 9x + 1)f(x) − (x − 9)m(x),

ou seja,

1 = \frac{1}{35}[(x^{2} − 9x + 1)f(x) − (x − 9)m(x)].

Substituindo x por θ obtemos 1 = \frac{1}{35}(θ^{2} − 9θ + 1)f(θ), o que mostra que

(θ^{2} − 6θ + 8)^{−1} = f(θ)^{−1} = \frac{1}{35}(θ^{2} − 9θ + 1).

3. Determine o grupo de Galois da extensão ℚ(\sqrt[4]{3}) de ℚ. O elemento \sqrt[4]{3} tem polinómio mínimo x^{4} − 3 sobre ℚ. Portanto,

ℚ(\sqrt[4]{3}) = \{a_{0} + a_{1} \sqrt[4]{3} + a_{2} \sqrt[4]{9} + a_{3} \sqrt[4]{27} | a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ ℚ\} ⊆ ℝ.

Para definir um ℚ-automorfismo Φ de ℚ(\sqrt[4]{3}) basta definir a imagem de \sqrt[4]{3} por Φ. Pelos resultados das aulas teóricas, qualquer ℚ-automorfismo Φ : ℚ(\sqrt[4]{3}) → ℚ(\sqrt[4]{3}) transforma \sqrt[4]{3} numa raiz em ℚ(\sqrt[4]{3}) do mesmo polinómio. Como ℚ(\sqrt[4]{3}) ⊆ ℝ, além de \sqrt[4]{3}, só mais uma das quatro raízes complexas de x^{4} − 3 pertence a ℚ(\sqrt[4]{3}): o número −\sqrt[4]{3}. Existem, pois, precisamente dois ℚ-automorfismos:

\begin{aligned}Φ_{0} : & ℚ(\sqrt[4]{3}) & → & ℚ(\sqrt[4]{3}) \\ & a ∈ ℚ & ↦ & a \\ & \sqrt[4]{3} & ↦ & \sqrt[4]{3} \end{aligned}  e  \begin{aligned}Φ_{1} : & ℚ(\sqrt[4]{3}) & → & ℚ(\sqrt[4]{3}) \\ & a ∈ ℚ & ↦ & a \\ & \sqrt[4]{3} & ↦ & −\sqrt[4]{3}. \end{aligned}

O primeiro é a identidade e o segundo aplica cada elemento a_{0} + a_{1} \sqrt[4]{3} + a_{2} \sqrt[4]{9} + a_{3} \sqrt[4]{27} de ℚ(\sqrt[4]{3}) em a_{0} − a_{1} \sqrt[4]{3} + a_{2} \sqrt[4]{9} − a_{3} \sqrt[4]{27}. Portanto, Gal(ℚ(\sqrt[4]{3}), ℚ) = \{id, Φ_{1}\}, que é um grupo isomorfo a ℤ_{2}.