Aula 1 8/02/2011 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. I. Anéis e Corpos. Anéis: motivação e definição. Notas históricas. Exemplos. Propriedades básicas. Anéis comutativos e anéis unitários. Exemplos.
Aula 2 11/02/2011 Resolução do exercício 1.1. Divisores de zero. Domínios de integridade. Exemplos. Elementos invertíveis. Corpos. Exemplos.
Aula 3 15/02/2011 Resolução dos exercícios 1.3 e 1.5. Subanéis e ideais. Exemplos. Ideais principais. Construção dos ideais principais. Exemplos.
Aula 4 18/2/2011 Continuação da aula anterior. Exercícios 1.11, 1.12, 1.13.e 1.16. Anéis quociente. Exemplo (exercício 1.20).
Aula 5 22/2/2011 Quando é que um anel quociente A/I é um domínio de integridade? E um corpo?: Ideais primos e ideais maximais. Definição e exemplos. Determinação dos ideias primos e maximais no anel dos inteiros. Resolução dos Exercícios 1.17(a) e 1.19.
Aula 6 25/2/2011 Mais exemplos de anéis quociente. Exercício 1.22. Homomorfismos de anéis. Isomorfismos. Exercício 1.29 (e). Aplicações: critérios de divisibilidade (por 2, 3, 5, 6, 9, 11, etc.) nos inteiros.
Aula 7 9/3/2011 Característica de um anel. Resolução dos Exercícios 1.25, 1.31 e 1.35 (a)(b)(c). Corpo das fracções de um domínio de integridade. II. Anéis polinomiais. Definição de polinómio com coeficientes num anel A. Soma e produto (de convolução) de polinómios.
Aula 8 11/3/2011 O anel A[x]. O anel A[x] é uma extensão de A. A indeterminada x. Forma canónica de um polinómio. Grau de um polinómio. Propriedades. Exercício 2.4. Teste escrito.
Aula 9 15/3/2011 Discussão sobre a resolução do teste. Exercício 2.1. Algoritmo de Divisão nos anéis de polinómios. Exercício 2.6. Consequências do Algoritmo da Divisão.
Aula 10 18/3/2011 Exercício 2.3. Teorema do Resto. Raízes de um polinómio. Exemplos. Conclusão de que os anéis de polinómios com coeficientes num corpo são domínios de ideais principais. Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. Mínimo múltiplo comum.
Aula 11 22/3/2011 Conclusão da aula anterior. Exercícios 2.7, 2.8, 2.10(a) e 2.11.
Aula 12 25/3/2011 Elementos primos e irredutíveis num domínio. Unidades e associados. Polinómios irredutíveis. Exemplos. Determinação dos polinómios irredutíveis sobre os complexos e os reais. Propriedades dos polinómios irredutíveis. Factorização única nos domínios C[x] (onde C é um corpo). Teorema da Factorização Única.
Aula 13 1/4/2011 Exercícios 2.14, 2.15, 2.19, 2.20, 2.21, 2.25 e 2.26. Critérios de irredutibilidade de polinómios. Anéis quociente.
Aula 14 5/4/2011 Exercícios 2.18, 2.28 e 2.29. III. Teoria de Galois. Motivação. Subcorpos. Corpos primos: Definição. Exemplos. Subcorpos primos.
Aula 15 6/4/2011 Extensões de corpos. As extensões vistas como espaços vectoriais. Grau de uma extensão. Extensões finitas. Exemplos. Teorema da Torre.
Aula 16 8/4/2011 Elementos algébricos e elementos transcendentes sobre um corpo. Exemplos. Referência aos teoremas de Lindemann (pi é transcendente sobre Q) e Hermite (e é transcendente sobre Q). Extensões algébricas. Polinómio mínimo. Propriedades do polinómio mínimo. Exemplos. Exercícios 3.2, 3.3 e 3.4.
Aula 17 12/4/2011 Determinação do grau e de uma base de uma extensão algébrica simples. Extensões transcendentes. Exemplo. Exercícios 3.5 (a) (b), 3.6, 3.8.
Aula 18 15/4/2011 Exercícios 3.9 (a), 3.10(a)(c) e 3.15(a)(c). Referência ao exercício 3.12. Cálculo de extensões algébricas duplas.
Aula 19 26/4/2011 Exercícios 3.14 (b) (c) e 3.15 (d). Extensões de decomposição: O teorema de existência e unicidade de Kronecker. Exemplos.
Aula 20 29/4/2011 Teste escrito. Discussão da respectiva resolução. Corpos algebricamente fechados. Caracterizações dos corpos algebricamente fechados.
Aula 21 3/5/2011 Construções com régua e compasso. - Problemas da geometria clássica. - Regras para realizar tais construções. - Exemplos de construções. - Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo arbitrário, a quadratura do círculo e a inscrição de um heptágono regular numa circunferência. - Formulação da questão em termos algébricos: pontos construtíveis. - Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o corpo gerado pelas coordenadas desses pontos, se (x,y) é construtível a partir dos pontos dados então [K0(x):K0] e [K0(y):K0] são potências de 2.
Aula 22 6/5/2011 - Solução dos problemas famosos: impossibilidade da duplicação do cubo usando "régua e compasso"; impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o; impossibilidade da quadratura do círculo; impossibilidade da construção de um heptágono regular. Exercícios 3.21, 3.22 e 3.24. Homomorfismos de extensões.
Aula 23 17/5/2011 Automorfismos de Galois. Grupo de Galois de uma extensão. Exemplos. Grupo de Galois de um polinómio. Sua representação em termos de permutações das raízes do polinómio. Exemplos. Exercícios 3.30 (a)(c) e 3.31 (a).
Aula 24 20/5/2011 Exercícios 3.27, 3.35 e 3.38 (a) (b).
Aula 25 24/5/2011 Extensões puras e extensões por radicais. Resolução de equações por radicais: descrição do problema. Polinómios resolúveis por radicais. Grupos resolúveis. Critério de Galois sobre a resolubilidade de equações algébricas por radicais. Teorema de Abel-Ruffini sobre a não existência de fórmulas resolventes para a equação do quinto grau.
Aula 26 27/5/2011 IV. Corpos finitos Propriedades fundamentais: característica e subcorpo primo. Exemplos. Possibilidades para a ordem de um corpo finito. Classificação dos corpos finitos: Teorema de Moore e Teorema de Galois. O corpo de Galois de ordem q.