Pretende-se transmitir conhecimentos históricos e técnicos sobre o desenvolvimento da (
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Pretende-se transmitir conhecimentos históricos e
técnicos sobre o desenvolvimento da álgebra e, mais particularmente,
acerca das tentativas de resolução de equações algébricas. É também
objetivo da unidade curricular sensibilizar os estudantes para a beleza e
elegância de uma teoria matemática através da compreensão do papel de
estruturas abstratas. Ao completar a unidade curricular, o estudante
deve ter desenvolvido alguma facilidade na resolução de problemas
algébricos, ter adquirido capacidades de abstração, ser capaz de
desenvolver raciocínios bem fundamentados e escrever de forma legível e
clara enunciados e demonstrações
Instruções para o Exame Especial (23 Jul, quinta-feira, 14h30m):
1. A prova consistirá em duas partes (1h15m cada parte).
2. A primeira parte começa às 14:30 e termina às 15:45.
A digitalização das respostas (dos originais em papel) e respectivo
envio poderá ser feito até às 15:55. Estará aberta no Inforestudante,
até esta hora, uma “submissão de trabalhos” para entrega das respostas.
3. A segunda parte começa às 16:00 e termina às 17:15.
A digitalização das respostas (dos originais em papel) e respectivo
envio poderá ser feito até às 17:25. Estará aberta no Inforestudante,
até esta hora, uma “submissão de trabalhos” para entrega das respostas.
4. O enunciado será disponibilizado no material de apoio da disciplina, na data e hora marcadas para a prova.
5. Os Estudantes devem ligar-se por
videoconferência, através da ligação abaixo, que será iniciada 5 minutos
antes do início da prova:
Join from PC, Mac, Linux, iOS or Android: https://videoconf-colibri.zoom.us/j/91768805811?pwd=V2lLdDcvUFl4UUo4bGpJTG9FdkpIdz09 Password: 611843
6. Deverão manter a câmara e o microfone ligados durante todo o exame.
7. Caso aconteça algum problema, poderão
comunicar-mo pelo chat do Zoom, para o meu email (picado@mat.uc.pt)
ou para o meu número de telefone 964132102.
8. As respostas são feitas em qualquer papel branco
ou de linhas. Devem numerar as folhas de resposta, identificar as
respostas e colocar o nome e a assinatura em cada uma das páginas.
9. As respostas apresentadas são exclusivamente
elaboradas de forma individual por cada Estudante, sem qualquer
apoio de terceiros.
10. É expressamente proibido comunicar
com terceiros no decorrer da prova, dar conhecimento das respostas
apresentadas e receber quaisquer informações ou resoluções
de outras pessoas.
(28 Jan) Estarei no estrangeiro na primeira semana de aulas (no período 12-16 de Fevereiro) pelo que terei de alterar a data da segunda aula.
1. Anéis e corpos. Anéis, domínios de
integridade e corpos. Subanéis e ideais. Ideais principais. Anel
quociente. Ideais primos e ideais maximais. Homomorfismos de anéis.
Característica.
2. Anéis de polinómios.
Polinómios. Anéis de polinómios. Factorização: algoritmo da divisão,
polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss da factorização única.
3. Extensões de corpos. Elementos da teoria de Galois.
Extensões de corpos. Aplicações: construções com régua e compasso,
construção de polígonos regulares. Teoria de Galois. Aplicações:
resolubilidade de equações polinomiais por radicais.
4. Corpos finitos. Propriedades fundamentais. Teorema da classificação (de Galois). Aplicações: teoria algébrica dos códigos.
As aulas são de tipo
teórico-prático, ou seja, de natureza expositiva e acompanhadas de
exemplos e resolução de exercícios que permitam compreender e aplicar os
conhecimentos adquiridos.
Os métodos de ensino serão
predominantemente expositivos nas componentes teóricas. Nas componentes
práticas serão resolvidos problemas sob orientação do professor.
Incentivar-se-á a resolução autónoma de problemas.
«Antes de
mais, deve observar-se que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade
matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que
isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da
Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se
ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais
recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os
desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza
elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O
ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio
abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo
Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel
local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das
séries de potências?»
Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004
Principal: J. Picado, Corpos e equações algébricas, Univ. Coimbra, 2009. R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004 (20-01/FER, 20-01/FER/ex.2, 20/02/SL, 20/03/SL).
Secundária: A. Jones, S. Morris e K. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer-Verlag, 1994 (12F/JON). T. Leuders, How do I Solve this Equation? Look at the Symmetries! – The Idea behind Galois Theory, Klein Project Blog. R. Lidl e H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and their Applications, Cambridge University Press, 2000 (12E/LID). I. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973 (3a ed. 2004) (12F/STE).
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