Ano lectivo 2004/05 Exame de Geometria Diferencial

6/7/05

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

Duração: 2h30m

1. Considere a espiral logaritmica

\begin{aligned}γ : & ℝ_{0}^{+} & ⟶ & ℝ^{2} \\ & t & ⟼ & (e^{t} cos t, e^{t} sin t). \end{aligned}

(a) Calcule o comprimento de γ em [0, 2π].

(b) Determine uma reparametrização de γ por comprimento de arco.

(c) Prove que o ângulo entre γ e o seu vector tangente é constante. Quanto mede esse ângulo?

2. Seja a uma constante não nula. Determine uma função φ : ℝ → ℝ, não constante, tal que as normais principais à curva γ : t ⟼ (a cos t, a sin t, φ(t)) sejam paralelas ao plano z = 0.

3. Diga, justificando convenientemente a sua resposta, quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. (\underline{Atenção}: resposta sem a devida justificação não será cotada.)

(a) Toda a curva plana é uma hélice generalizada.

(b) Seja γ uma curva parametrizada por comprimento de arco e com curvatura constante. A curva α definida por α(s) = ∫_{0}^{s} B_{γ}(u) du é uma curva de torsão constante.

(c) Se γ : I → ℝ^{3} é uma hélice generalizada (cuja curvatura nunca se anula) então o quociente τ_{γ}(t)/κ_{γ}(t) é constante ao longo de t ∈ I.

(d) Todo o difeomorfismo equiareal é uma isometria.

4. (a) Seja S = f^{−1}(a) uma superfície, onde f : U ⊆ ℝ^{3} ⟶ ℝ é uma aplicação C^{∞} e a ∈ f(U) é um valor regular de f, e seja p um ponto de S. Deduza uma equação para o plano tangente a S em p em termos do gradiente ∇f(p) de f em p.

(b) Seja C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | yx^{2} + y^{2} = 1}.

(i) Justifique que C é uma superfície. (ii) Determine uma equação para o plano tangente a C em p = (0, 1, 2).

5. (a) Determine a segunda forma fundamental de uma superfície de revolução parametrizada por

\begin{aligned}Φ : & I×]0, 2π[ & ⟶ & S \\ & (u, v) & ⟼ & (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), \end{aligned}

onde f : I → ℝ é positiva.

(b) Seja S a superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana z = cos x, x ∈]0, 2π[, em torno do eixo OZ. Determine os pontos da curva que dão origem, respectivamente, aos pontos elípticos, parabólicos e hiperbólicos de S.

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra