Ano lectivo 2004/05 Exame de Geometria Diferencial

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

Duração: 2h30m 22/7/05

1. Sejam a ∈ ℝ, r ∈ ℝ^{+} e b = \sqrt{r^{2} + a^{2}}. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} definida por

γ(s) = (r cos \frac{s}{b}, r sin \frac{s}{b}, a\frac{s}{b}).

(a) γ está parametrizada por comprimento de arco?

(b) Determine a curvatura e a torsão de γ.

(c) Mostre que o ângulo definido pelo eixo OZ e pela recta tangente a γ em cada ponto γ(s) é constante.

2. Seja γ : J ⟶ ℝ^{3} uma curva suave, não parametrizada por comprimento de arco, tal que γ′(t) ∧ γ′′(t) ≠ (0, 0, 0) para qualquer t ∈ J.

(a) Como se define, em cada t ∈ J, o triedro de Frenet-Serret de γ?

(b) Deduza a expressão de N′_{γ} em função de T_{γ} e B_{γ} (suponha conhecidos os resultados para curvas parametrizadas por comprimento de arco de que necessitar).

3. Diga, justificando sucintamente a sua resposta, quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. (\underline{Atenção}: resposta sem a devida justificação não será cotada.)

(a) γ(t) = (cos^{2} t − \frac{1}{2}, sin t cos t, sin t) é uma parametrização da curva de intersecção do cilindro circular, de raio \frac{1}{2} e eixo OZ, com a esfera de raio 1 e centro (−\frac{1}{2}, 0, 0).

(b) A curva γ_{a} : ℝ → ℝ^{3} definida por γ_{a}(t) = (\frac{2}{3}t, t^{2}, at^{3}) é uma hélice generalizada para a = 0, 1, 2.

(c) A superfície S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | z = x^{3} + y^{3}} contém pontos de qualquer um dos quatro tipos (planares, elípticos, parabólicos e hiperbólicos).

4. Seja f : S_{1} → S_{2} um difeomorfismo entre superfícies.

(a) Quando é que se diz que f é uma isometria?

(b) Sejam Ψ : U ⟶ V_{1} ⊆ S_{1} e Φ : U ⟶ V_{2} ⊆ S_{2} parametrizações de S_{1} e S_{2}, respectivamente, e E, F, G e \overline{E}, \overline{F} , \overline{G} os coeficientes das respectivas 1\underline{as} formas fundamentais. Prove que a função ΨΦ^{−1} é uma isometria se E = \overline{E}, F = \overline{F} e G = \overline{G}.

(c) Mostre que a aplicação antípoda na esfera de raio 1, f : S^{2} → S^{2}, definida por f(x, y, z) = (−x, −y, −z), é uma isometria.

5. Seja R uma superfície de revolução, com eixo de revolução OZ e geratriz parametrizada por γ(u) = (f(u), 0, g(u)).

(a) Prove que o ponto p de R, obtido por rotação de ângulo v do ponto γ(u) da geratriz, tem vector de posição σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).

(b) Quando é que a geratriz está parametrizada por comprimento de arco?

(c) Determine uma geratriz γ, parametrizada por comprimento de arco, cuja superfície de revolução tenha curvatura gaussiana constante, igual a 4.

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra