Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 1A  6/03/06

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para quaisquer x, y ∈ ℝ^{3} \ {0}, (x|y) = 0 se e só se x e y são linearmente independentes.

(b) A curva γ_{a} : ℝ → ℝ^{3}, t ↦ (1, at^{2}, t^{3}), é regular para qualquer a ∈ ℝ \ {0}.

(c) Numa curva parametrizada por comprimento de arco, B′(s) = −τ(s)N(s).

(d) O comprimento da espiral γ(t) = (e^{−t} cos t, e^{−t} sin t) em [0, +∞) é igual a \sqrt{2}.

2. (a) A curva γ : ℝ → ℝ^{3} definida por γ(s) = (\frac{5}{13} cos s, \frac{18}{13} −sin s, −\frac{12}{13} cos s) está parametrizada

por comprimento de arco?

(b) Determine a sua curvatura e a sua torsão. A curva é plana?