Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 1B  6/03/06

Soluções

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para quaisquer x, y ∈ ℝ^{3} \ {0}, x ∧ y = 0 se e só se x e y são ortogonais.  ×

[Sendo x, y ≠ 0, ent~ ao x ∧ y = 0 ⇔ sin ∡(x, y) = 0 ⇔ x∥y.]

(b) Uma reparametrização de uma curva regular pode não ser regular.  ×

[Pela Proposiç~ ao 2.9, toda a reparametrizaç~ ao de uma curva

regular é regular: γ̃′(t) = (γ ∘ λ)′(t) = λ′(t) · γ′(λ(t)) ≠ 0.]

(c) O traço da curva γ : ℝ → ℝ^{3}, definida por γ(t) = (\frac{4}{5} cos t, 1 − sin t, −\frac{3}{5} cos t),

é uma circunferência de raio 1.  ×

[A curva está parametrizada por comprimento de arco:  para

qualquer t ∈ ℝ, ∥γ′(t)∥ = ∥(−\frac{4}{5} sin t, − cos t, \frac{3}{5} sin t)∥ = 1. Assim, k(s) = ∥γ′′(s)∥ = ∥(−\frac{4}{5} cos s, sin s, \frac{3}{5} cos s)∥ = 1. Por outro lado, N(s) = \frac{T′(s)}{k(s)} = (−\frac{4}{5} cos s, sin s, \frac{3}{5} cos s). Ent~ ao B(s) = T (s) ∧ N(s) é igual a

| \begin{matrix}e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ −\frac{4}{5} sin s & − cos s & \frac{3}{5} sin s \\ −\frac{4}{5} cos s & sin s & \frac{3}{5} cos s \end{matrix} | = (−\frac{3}{5}(cos^{2} s + sin^{2} s), 0, −\frac{4}{5}(cos^{2} s + sin^{2} s))
= (−\frac{3}{5}, 0, −\frac{4}{5}).

Portanto, B′(s) = 0 para qualquer s ∈ ℝ.  Consequentemente,
τ(s) = 0 para qualquer s ∈ ℝ, pelo que a curva é plana.
Como a curvatura é constante, igual a 1, terá que ser uma
circunfer^encia de raio 1.]

(d) A curvatura de uma circunferência é inversamente proporcional ao seu raio.  ×

[γ(t) = (r cos t, r sin t) é uma parametrizaç~ ao da circunfer^encia de
raio r, pelo que a sua curvatura é igual a k(t) = \frac{∥γ′(t)∧γ′′(t)∥}{∥γ′(t)∥^{3}} =

\frac{∥(0,0,r^{2} sin^{2} t+r^{2} cos^{2} t)∥}{r^{3}} = \frac{r^{2}}{r^{3}} = \frac{1}{r}.] 2. (a) A curva γ : (−1, 1) → ℝ^{3}, definida por γ(s) = (\frac{(1+s)^{3/2}}{3} , \frac{(1−s)^{3/2}}{3} , \frac{s}{\sqrt{2}}), está parametrizada

por comprimento de arco? Sim: para cada s ∈ (−1, 1), γ′(s) = (\frac{1}{2}(1 + s)^{\frac{1}{2}} , −\frac{1}{2}(1 − s)^{\frac{1}{2}} , \frac{\sqrt{2}}{2}) donde ∥γ′(s)∥^{2} = \frac{1}{4}(1 + s) + \frac{1}{4}(1 − s) + \frac{1}{2} = 1.

(b) Determine o seu triedro de Frenet-Serret. T (s) = γ′(s) = (\frac{1}{2}(1 + s)^{\frac{1}{2}} , −\frac{1}{2}(1 − s)^{\frac{1}{2}} , \frac{\sqrt{2}}{2}).

N(s) = \frac{γ′′(s)}{∥γ′′(s)∥} = ^{\frac{(\frac{1}{4} (1+s)^{− \frac{1}{2}} , \frac{1}{4} (1−s)^{− \frac{1}{2}} ,0)}{\sqrt[\frac{1}{4}]{(1+s)^{−1}+(1−s)^{−1}}}} = ^{\frac{(\frac{1}{4} (1+s)^{− \frac{1}{2}} , \frac{1}{4} (1−s)^{− \frac{1}{2}} ,0)}{\sqrt[\frac{1}{4}]{2(1−s^{2})^{−1}}}} = (\sqrt{\frac{1−s}{2}}, \sqrt{\frac{1+s}{2}}, 0). B(s) = T (s) ∧ N(s) = (−\frac{\sqrt{1+s}}{2}, \frac{\sqrt{1−s}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}).