Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 2A  3/04/06

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Rodando 90^{∘}, no sentido positivo, o vector v = (v_{1}, v_{2}) de ℝ^{2}, obtem-se o vector (−v_{2}, −v_{1}).

(b) Se todo o plano normal de γ : I → ℝ^{3} passa por um ponto fixo então γ é uma curva esférica.

(c) A curva γ_{a} : ℝ → ℝ^{3} definida por γ_{a}(t) = (\frac{2}{3}t, t^{2}, at^{3}) é uma hélice generalizada para a = 0, 1, 2.

(d) S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 2x^{2} + 2xy − z^{2} − 2yz = 1} é uma superfície.

2. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} dada por γ(t) = (t^{2}, −t + t^{2}, −t + 2).

(a) Prove que γ é plana.

(b) Determine a equação do plano osculador a γ em t e averigue se existe algum ponto onde esse plano seja paralelo ao plano XOY.