Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 2B  3/04/06

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para qualquer curva plana γ : I → ℝ^{2} parametrizada por comprimento de arco, κ_{s}(s) = γ′_{1}(s)γ′′_{2}(s) − γ′′_{1}(s)γ′_{2}(s).

(b) Rodando 90^{∘}, no sentido negativo, o vector v = (v_{1}, v_{2}) de ℝ^{2}, obtem-se o vector (−v_{2}, v_{1}).

(c) Para quaisquer r ∈ ℝ^{+} e a ∈ ℝ, as rectas normais à curva h_{a,r} : ℝ → ℝ^{3} definida por h_{a,r} = (r cos t, r sen t, at) são ortogonais ao eixo OZ.

(d) 0 é um valor regular da função f : ℝ^{3} → ℝ definida por f(x, y, z) = x^{2} +y^{2} −z^{2}.

2. (a) Qual é a propriedade geométrica que define as hélices generalizadas γ : I ⟶ ℝ^{3}? Como

se caracterizam estas curvas em termos da curvatura e da torsão?

(b) Sendo f : ℝ → ℝ uma função suave, considere a curva

\begin{aligned}γ : & ℝ^{+} & ⟶ & ℝ^{3} \\ & t & ⟼ & (\frac{\sqrt{2}}{2} ∫_{0}^{t} sen f(r)dr, \frac{\sqrt{2}}{2} ∫_{0}^{t} cos f(r)dr, \frac{\sqrt{2}}{2}t). \end{aligned}

Mostre que γ é uma hélice generalizada. Qual é o seu eixo?