Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 2B  3/04/06

Soluções

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para qualquer curva plana γ : I → ℝ^{2} parametrizada por comprimento de

arco, κ_{s}(s) = γ′_{1}(s)γ′′_{2}(s) − γ′′_{1}(s)γ′_{2}(s).  ×

[Corolário 4.3, p.  43.]

(b) Rodando 90^{∘}, no sentido negativo, o vector v = (v_{1}, v_{2}) de ℝ^{2}, obtem-se

o vector (−v_{2}, v_{1}).  ×

[O vector que se obtem é o vector (v_{2}, −v_{1}) e n~ ao (−v_{2}, v_{1}) (este
é o resultado de uma rotaç~ ao de 90^{0}, mas no sentido positivo).]

(c) Para quaisquer r ∈ ℝ^{+} e a ∈ ℝ, as rectas normais à curva h_{a,r} : ℝ → ℝ^{3}

definida por h_{a,r} = (r cos t, r sen t, at) são ortogonais ao eixo OZ.  ×

[Exercício 3.23 (b):  A recta normal tem a direcç~ ao do vector
normal logo tem a mesma direcç~ ao que o vector T′(t).  Como este
vector é paralelo a γ′′(t) basta ent~ ao verificar que γ′′(t) é
ortogonal a (0, 0, 1), o que é óbvio pois γ′′(t) = (−r cos t, −r sen t, 0).]

(d) 0 é um valor regular da função f : ℝ^{3} → ℝ definida por f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} − z^{2}.  ×

[É falso, uma vez que o gradiente ∇_{f}(x, y, z) de f no ponto (x, y, z)
é o vector (2x, 2y, 2z), que só se anula em (0, 0, 0), mas este ponto
pertence a f^{−1}({0}).]

2. (a) Qual é a propriedade geométrica que define as hélices generalizadas γ : I ⟶ ℝ^{3}? Como se caracterizam estas curvas em termos da curvatura e da torsão?

Uma curva γ : I → ℝ^{3} diz-se uma hélice generalizada quando existe um vector unitário u (o chamado eixo da hélice) tal que o produto escalar (u | T (t)) é independente do parâmetro t. Equivalentemente, uma curva γ é uma hélice generalizada se e só se o quociente τ(t)/κ(t) é independente de t.

(b) Sendo f : ℝ → ℝ uma função suave, considere a curva

\begin{aligned}γ : & ℝ^{+} & ⟶ & ℝ^{3} \\ & t & ⟼ & (\frac{\sqrt{2}}{2} ∫_{0}^{t} sen f(r)dr, \frac{\sqrt{2}}{2} ∫_{0}^{t} cos f(r)dr, \frac{\sqrt{2}}{2}t). \end{aligned}

Mostre que γ é uma hélice generalizada. Qual é o seu eixo?

Como γ′(t) = (\frac{\sqrt{2}}{2}sen f(t), \frac{\sqrt{2}}{2}cos f(t), \frac{\sqrt{2}}{2}), então ∥γ′(t)∥ = 1. Portanto,

\frac{τ(t)}{κ(t)} = \frac{[γ′(t), γ′′(t), γ′′′(t)] · ∥γ′(t)∥^{3}}{∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥^{3}} = \frac{[γ′(t), γ′′(t), γ′′′(t)]}{∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥^{3}}.

Como

γ′(t) ∧ γ′′(t) = (\frac{1}{2}f′(t) sen f(t), \frac{1}{2}f′(t) cos f(t), −\frac{1}{2}f′(t)),

então ∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥ = \frac{\sqrt{2}}{2}f′(t). Finalmente,

γ′′′(t) = (\frac{\sqrt{2}}{2}f′′(t) cos f(t)−\frac{\sqrt{2}}{2}(f′(t))^{2} sen f(t), −\frac{\sqrt{2}}{2}f′′(t) sen f(t)−\frac{\sqrt{2}}{2}(f′(t))^{2} cos f(t), 0),

pelo que [γ′(t), γ′′(t), γ′′′(t)] = −\frac{\sqrt{2}}{4}(f′(t))^{3}. Portanto, \frac{τ(t)}{κ(t)} = −1, o que mostra que a curva é, de facto, uma hélice generalizada de eixo u = cT (t) + \sqrt{1 − c^{2}}B(t) onde c = −\frac{1}{\sqrt{2}} = −\frac{\sqrt{2}}{2}. Assim, u = −\frac{\sqrt{2}}{2}T (t) + \frac{\sqrt{2}}{2}B(t) = (0, 0, −1).

Alternativa (evitando o cálculo do quociente τ(t)/κ(t)): Como

γ′(t) = (\frac{\sqrt{2}}{2}sen f(t), \frac{\sqrt{2}}{2}cos f(t), \frac{\sqrt{2}}{2}),

então ∥γ′(t)∥ = 1 e a curva está parametrizada por comprimento de arco. Portanto T (t) = γ′(t). Basta então considerar u = (0, 0, 1): o produto escalar (u | T (t)) é constante (igual a \frac{\sqrt{2}}{2}) pelo que γ é uma hélice generalizada de eixo vertical (0, 0, 1).