Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial Duração: 30m Teste 3A 27/04/06 Nome:

1. Diga, justificando sucintamente, qual é o valor lógico das seguintes afirmações: (a) S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | z(z − 2) + xy = 2} é uma superfície.

(b) Para qualquer função suave f : U ⊆ ℝ^{3} → ℝ e para qualquer a ∈ f(U), f^{−1}(a) =

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | f(x, y, z) = a} é uma superfície.

2. (a) Como se define um vector tangente a uma superfície S num ponto p ∈ S?

(b) Seja

\begin{aligned}σ : & (0, 2) × (0, 2π) & → & ℝ^{3} \\ & (u, v) & ↦ & (u cos v, u sin v, u) \end{aligned}

um mapa de uma superfície cónica S contendo o ponto p = (0, 1, 1). O vector (−1, −1, −1) é tangente a S no ponto p? (Justifique a resposta.)