Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 3B  27/04/06

Nome:

1. Diga, justificando sucintamente, qual é o valor lógico das seguintes afirmações:

(a) Para qualquer função suave f : U ⊆ ℝ^{2} → ℝ, G_{f} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | y = f(x, z)} é uma superfície.

(b) Cada ponto p da superfície obtida por rotação, de ângulo v ∈ (0, 2π), em torno do eixo OZ, da curva γ(u) = (f(u), 0, g(u)), u ∈ I, tem vector de posição σ(u, v) = (f(u) cos v, g(u), f(u) sin v).

2. Para cada c ∈ ℝ_{0}^{+} considere S_{c} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2}y^{2} + x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} = c}. (a) Mostre que S_{c} é uma superfície para c ≠ 0.

(b) O vector (−1, 2, 1) é tangente a S_{1} no ponto (1, 1, 0) ? (Justifique a resposta.)