Ano lectivo 2006/07 Exame de Geometria Diferencial

Duração: 2h30m 5/7/07

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

1. Determine:

(a) Uma parametrização da curva de nível definida pela equação cartesiana \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1.

(b) Para a espiral logarítmica γ(t) = (e^{t} cos t, e^{t} sin t), o ângulo em cada t entre o vector γ(t) e o vector tangente a γ no ponto γ(t).

(c) Uma reparametrização por comprimento de arco da hélice γ(t) = (e^{t} cos t, e^{t} sin t, e^{t}), t ∈ ℝ.

(d) O comprimento de arco da ciclóide γ(t) = 2(t−sin t, 1−cos t) correspondente a uma revolução completa da circunferência que a gera.

2. Sejam r, a, b, c constantes reais, com r ≠ 0, e considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} definida por γ(t) = (r cos t, r sin t, a sin t + b cos t + c).

(a) Prove que γ é uma curva plana.

(b) Será possível que γ(ℝ) seja circular?

3. Considere o conjunto S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | y^{3} + y − 4z = 0}.

(a) Mostre que S é uma superfície.

(b) Determine os pontos de S onde o plano tangente é paralelo à recta definida pelas equações x = 0, y = z.

4. Seja

\begin{aligned}σ : & ℝ × (−π, π) & ⟶ & ℝ^{3} \\ & (u, v) & ⟼ & (cos v, sin v, u) \end{aligned}

uma parametrização do cilindro C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1} e seja P a superfície plana {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x = 1, −π < y < π}. Considere o difeomorfismo f : C → P que a cada ponto σ(u, v) do cilindro faz corresponder o ponto (1, v, u) de P.

(a) Mostre que f é uma isometria.

(b) Qual é a distância, em C, entre os pontos (\frac{\sqrt{2}}{2}, −\frac{\sqrt{2}}{2}, −2) e (−\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 3)? Determine uma parametrização de uma curva em C, com esse comprimento, que os una.

5. Seja γ : (0, 1) → ℝ^{3} uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco, cuja curvatura nunca se anula, e considere a superfície S_{γ} parametrizada por

\begin{aligned}σ : & (0, 1) × (0, 1) & ⟶ & S_{γ} \\ & (s, u) & ⟼ & γ(s) + u T_{γ}(s). \end{aligned}

(a) Prove que, para cada s_{0} ∈ (0, 1), todos os pontos σ(s_{0}, u), com u∈ (0, 1), admitem o mesmo plano tangente.

(b) Seja p = σ(s, u) um ponto arbitrário de S_{γ}. Mostre que K(p) = 0 e H(p) = \frac{τ_{γ}(s)}{2u κ_{γ}(s)}. Classifique os pontos de S_{γ}.

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra