Ano lectivo 2006/07 Exame de Geometria Diferencial

Duração: 2h30m 20/7/07

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações (V: verdadeira; F: falsa), apresentando uma justificação breve: V F

(a) Rodando 90^{∘}, no sentido negativo, o vector v = (v_{1}, v_{2}) de ℝ^{2}, obtem-se o vector (−v_{2}, v_{1}).

(b) Para quaisquer x, y ∈ ℝ^{3} \ {0}, (x|y) = 0 se e só se x e y são linearmente independentes.

(c) A curva γ_{a} : ℝ → ℝ^{3}, t ↦ (1, at^{2}, t^{3}), é regular para qualquer a ∈ ℝ \ {0}.

(d) Para quaisquer r ∈ ℝ^{+} e a ∈ ℝ, as rectas normais à curva h_{a,r} : ℝ → ℝ^{3} definida por h_{a,r} = (r cos t, r sen t, at) são ortogonais ao eixo OZ.

(e) 0 é um valor regular da função f : ℝ^{3} → ℝ definida por f(x, y, z) = x^{2} +y^{2} −z^{2}.

2. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} parametrizada por γ(t) = (2t, \sqrt{3} t^{2}, t^{3}).

(a) Sendo t > 0, designe por s(t) o comprimento de γ no intervalo [0, t]. Calcule s(t).

(b) γ é plana ?

(c) Quando é que uma curva se diz uma hélice generalizada ? Nesse caso, o que é o seu eixo ?

(d) Mostre que γ é uma hélice generalizada. Qual é o seu eixo ?

3. Seja γ : (0, 1) ⟶ ℝ^{3} uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco, cuja curvatura nunca se anula, e considere a superfície S_{γ} parametrizada por

\begin{aligned}σ : & (0, 1) × (0, 1) & ⟶ & S_{γ} \\ & (s, u) & ⟼ & γ(s) + u T_{γ}(s). \end{aligned}

Mostre que:

(a) S_{γ} não possui pontos elípticos e pontos hiperbólicos.

(b) Se γ é plana então todos os pontos de S_{γ} são planares.

(c) Se γ não é plana então existe uma infinidade de pontos parabólicos em S_{γ}.

(d) Se γ é uma hélice generalizada não plana então todos os pontos de S_{γ} são parabólicos.

4. Um mapa global σ : U ⊆ ℝ^{2} → S de uma superfície S diz-se conformal se a projecção

\begin{aligned}f : & S & → & P \\ & (x, y, z) & ↦ & (σ^{−1}(x, y, z), 0) \end{aligned}

na superfície plana P = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y) ∈ U, z = 0} é conformal.

(a) Denote por E, F, G os termos da primeira forma fundamental de σ. Mostre que o mapa σ é conformal se e só se E = G e F = 0.

(b) Seja σ(s, u) = γ(s) + uδ(s), onde u ∈ ℝ, γ : I → ℝ^{3} é uma curva parametrizada por comprimento de arco e δ(s) é um vector unitário para cada s ∈ I, uma parametrização de uma superfície regrada. Mostre que σ é conformal se e só se δ é constante e o traço de γ está contido num plano perpendicular a δ. Que tipo de superfície regrada é esta?

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra