Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 1  5/03/07

NOME:

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para quaisquer x, y ∈ ℝ^{3} \ {0}, x ∧ y = 0 se e só se x e y são ortogonais.

(b) O comprimento da espiral γ(t) = (e^{−t} cos t, e^{−t} sin t) em [0, +∞) é igual a \sqrt{2}.

(c) Se uma curva possui uma reparametrização por comprimento de arco então é regular.

(d) A curvatura de uma circunferência é constante, inversamente proporcional ao seu raio.

(e) O traço de qualquer curva com curvatura constante está contido numa circunferência.

2. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} parametrizada por γ(t) = (2t, \sqrt{3} t^{2}, t^{3}).

(a) Determine o seu vector tangente. Qual é a velocidade de γ no instante t?

(b) Sendo t > 0, designe por s(t) o comprimento de γ no intervalo [0, t]. Quanto vale s(t) ?

(c) A curva γ está parametrizada por comprimento de arco ? Em caso negativo, reparametrize-a por comprimento de arco.

(d) Determine a curvatura de γ.