Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 1  5/03/07

Soluções

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para quaisquer x, y ∈ ℝ^{3} \ {0}, x ∧ y = 0 se e só se x e y são ortogonais.  ×

[Sendo x, y ≠ 0, ent~ ao x ∧ y = 0 ⇔ sin ∡(x, y) = 0 ⇔ x ∥ y.]

(b) O comprimento da espiral γ(t) = (e^{−t} cos t, e^{−t} sin t) em [0, +∞) é igual a \sqrt{2}. ×

[Como γ′(t) = (−e^{−t} cos t − e^{−t} sin t, −e^{−t} sin t + e^{−t} cos t), ent~ ao ∥γ′(t)∥^{2} = e^{−2t}(cos t + sin t)^{2} + e^{−2t}(cos t − sin t)^{2} = e^{−2t} + e^{−2t} = 2e^{−2t}. Portanto, ∫_{0}^{t} ∥γ′(u)∥ du = ∫_{0}^{t} \sqrt{2}e^{−u} du = \sqrt{2}[−e^{−u}]_{0}^{t} = \sqrt{2}(−e^{−t} + 1), pelo que lim_{t→+∞} ∫_{0}^{t} ∥γ′(u)∥ du = \sqrt{2}.]

(c) Se uma curva possui uma reparametrização por comprimento de arco

então é regular.  ×

[Teorema 2.10.]

(d) A curvatura de uma circunferência é constante, inversamente proporcional

ao seu raio.  ×

[γ(t) = (r cos t, r sin t) é uma parametrizaç~ ao da circunfer^encia de
raio r, pelo que a sua curvatura é igual a κ(t) = \frac{∥γ′(t)∧γ′′(t)∥}{∥γ′(t)∥^{3}} =

\frac{∥(0,0,r^{2} sin^{2} t+r^{2} cos^{2} t)∥}{r^{3}} = \frac{r^{2}}{r^{3}} = \frac{1}{r}.]

(e) O traço de qualquer curva com curvatura constante está contido numa

circunferência.  ×

[Basta pensar numa recta (tem curvatura constante nula) ou
numa hélice circular (tem curvatura constante igual a \frac{r}{r^{2}+a^{2}} .]

2. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} parametrizada por γ(t) = (2t, \sqrt{3} t^{2}, t^{3}).

(a) Determine o seu vector tangente. Qual é a velocidade de γ no instante t?

(b) Sendo t > 0, designe por s(t) o comprimento de γ no intervalo [0, t]. Quanto vale s(t) ?

(c) A curva γ está parametrizada por comprimento de arco ? Em caso negativo, reparametrize-a por comprimento de arco.

(d) Determine a curvatura de γ.

(a) O vector tangente T (t) é o vector \frac{γ′(t)}{∥γ′(t)∥} = ^{\frac{(2,2\sqrt{3} t,3t^{2})}{2+3t^{2}}} pois ∥γ′(t)∥ = \sqrt{4 + 12t^{2} + 9t^{4}} = \sqrt{(2 + 3t^{2})^{2}} = 2 + 3t^{2}.

(b) s(t) = ∫_{0}^{t} ∥γ′(u)∥ du = ∫_{0}^{t}(2 + 3t^{2}) du = [2u + u^{3}]_{0}^{t} = 2t + t^{3}.

(c) γ não está parametrizada por comprimento de arco pois ∥γ′(t)∥ = 2 + 3t^{2} não é a função constante igual a 1. Para reparametrizar γ por comprimento de arco temos que considerar a função bijectiva s : ℝ → s(ℝ) definida por s(t) = 2t + t^{3} e determinar a sua função inversa s^{−1} : s(ℝ) = ℝ → ℝ. A reparametrização por comprimento de arco será γ̃ = γ ∘ s^{−1} dada por γ̃(u) = (2s^{−1}(u), \sqrt{3}s^{−1}(u), (s^{−1}(u))^{3}).

(d)

κ(t) = \frac{∥γ′(t) ∧ γ′′(t)∥}{∥γ′(t)∥^{3}} = \frac{∥(2, 2\sqrt{3} t, 3t^{2}) ∧ (0, 2\sqrt{3}, 6t)∥}{(2 + 3t^{2})^{3}}
= \frac{∥(6\sqrt{3} t^{2}, −12t, 4\sqrt{3})∥}{(2 + 3t^{2})^{3}} = \frac{\sqrt{(6\sqrt{3})^{2}t^{4} + 12^{2}t^{2} + (4\sqrt{3})^{2}}}{(2 + 3t^{2})^{3}}
= \frac{\sqrt{(6\sqrt{3} t^{2} + 4\sqrt{3})^{2}}}{(2 + 3t^{2})^{3}} = \frac{6\sqrt{3} t^{2} + 4\sqrt{3}}{(2 + 3t^{2})^{3}}
= \frac{2\sqrt{3} (3t^{2} + 2)}{(2 + 3t^{2})^{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(2 + 3t^{2})^{2}} .