Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 45m  Teste 2  12/04/07

NOME:

1. Sejam a, b, c três números reais não nulos. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} definida por γ(t) = (3at, 3bt^{2}, ct^{3}). Mostre que a equação do plano osculador, no ponto γ(1), é igual a

\frac{x}{a} − \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

2. Seja β : I → ℝ^{3} uma curva parametrizada por comprimento de arco, tal que κ_{β} > 0 e seja α : I → ℝ^{3} definida por α(t) = β′(t). Mostre que:

(a) α′′(t) = −κ_{β}(t)^{2}T_{β}(t) + κ′_{β}(t)N_{β}(t) + κ_{β}(t)τ_{β}(t)B_{β}(t).

(b) κ_{α}(t) = \sqrt{(\frac{τ_{β}(t)}{κ_{β}(t)})^{2} + 1}.

(c) Se β é uma hélice generalizada então κ_{α} é constante.