Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 45m  Teste 2  12/04/07

Soluções

1. Sejam a, b, c três números reais não nulos. Considere a curva γ : ℝ → ℝ^{3} definida por γ(t) = (3at, 3bt^{2}, ct^{3}). Mostre que a equação do plano osculador, no ponto γ(1), é igual a

\frac{x}{a} − \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

Solução. Uma vez que γ′(t) = (3a, 6bt, 3ct^{2}), a curva γ não está parametrizada por comprimento de arco pois ||γ′(t)|| = \sqrt{9a^{2} + 36b^{2}t^{2} + 9c^{2}t^{4}} não é igual a 1 para qualquer t ∈ ℝ. O plano osculador em γ(1) é o plano P que passa pelo ponto γ(1) e é ortogonal ao vector binormal B(1). Como B(1) = T (1) ∧ N(1), este vector é paralelo ao produto vectorial γ′(1) ∧ γ′′(1). Portanto

P = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | ((x, y, z) − γ(1) | γ′(1) ∧ γ′′(1)) = 0} .

Calculemo-lo:

γ′(1) ∧ γ′′(1) = \begin{matrix}e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 3a & 6b & 3c \\ 0 & 6b & 6c \end{matrix} = (18bc, −18ac, 18ab),

donde

P = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | ((x, y, z) − (3a, 3b, c) | (18bc, −18ac, 18ab)) = 0}
= {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | ((x − 3a, y − 3b, z − c) | (18bc, −18ac, 18ab)) = 0}
= {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 18(bcx − 3abc − acy + 3abc + abz − abc) = 0}
= \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | \frac{x}{a} − \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\}

pois abc ≠ 0.

2. Seja β : I → ℝ^{3} uma curva parametrizada por comprimento de arco, tal que κ_{β} > 0 e seja α : I → ℝ^{3} definida por α(t) = β′(t). Mostre que:

(a) α′′(t) = −κ_{β}(t)^{2} T_{β}(t) + κ′_{β}(t) N_{β}(t) + κ_{β}(t) τ_{β}(t) B_{β}(t).

(b) κ_{α}(t) = \sqrt{(\frac{τ_{β}(t)}{κ_{β}(t)})^{2} + 1}.

(c) Se β é uma hélice generalizada então κ_{α} é constante.

Solução.

(a) Como α(t) = β′(t) e β está parametrizada por comprimento de arco, então α(t) = T_{β}(t). Consequentemente, α′(t) = κ_{β}(t) N_{β}(t) e

α′′(t) = κ′_{β}(t) N_{β}(t) + κ_{β}(t) (−κ_{β}(t) T_{β}(t) + τ_{β}(t) B_{β}(t))
= −κ_{β}(t)^{2} T_{β}(t) + κ′_{β}(t) N_{β}(t) + κ_{β}(t) τ_{β}(t) B_{β}(t).

(b) Uma vez que α não está parametrizada por comprimento de arco,

κ_{α}(t) = \frac{∥α′(t) ∧ α′′(t)∥}{∥α′(t)∥^{3}}.

Da alínea anterior segue

α′(t) ∧ α′′(t) = −κ_{β}(t)^{3} (N_{β}(t) ∧ T_{β}(t)) + 0 + κ_{β}(t)^{2} τ_{β}(t)(N_{β}(t) ∧ B_{β}(t))
= κ_{β}(t)^{2} τ_{β}(t) T_{β}(t) + κ_{β}(t)^{3} B_{β}(t).

Portanto, ∥α′(t) ∧ α′′(t)∥ = \sqrt{κ_{β}(t)^{4} τ_{β}(t)^{2} + κ_{β}(t)^{6}} e ∥α′(t)∥ = κ_{β}(t). Em conclusão,

κ_{α}(t) = \sqrt{\frac{κ_{β}(t)^{4} τ_{β}(t)^{2} + κ_{β}(t)^{6}}{κ_{β}(t)^{6}}} = \sqrt{(\frac{τ_{β}(t)}{κ_{β}(t)})^{2} + 1}.

(c) É óbvio: se β é uma hélice generalizada então o quociente \frac{τ_{β}(t)}{κ_{β}(t)} é constante o que implica, pela alínea anterior, que κ_{α} seja constante.