Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 45m  Teste 3  14/05/07

NOME:

1. (a) Como se define um vector tangente a uma superfície S num ponto p ∈ S?

(b) Seja

\begin{aligned}σ : & (0, 2) × (−π, π) & → & ℝ^{3} \\ & (u, v) & ↦ & (u cos v, u sin v, u) \end{aligned}

um mapa de uma superfície cónica S contendo o ponto p = (1, 0, 1). O vector (−1, −1, 1) é tangente a S no ponto p? (Justifique a resposta.)

2. Seja H = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | xy = 1}.

(a) Prove que H é uma superfície.

(b) Seja p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) um ponto arbitrário de H. Determine a equação do conjunto dos pontos de intersecção de H com o plano tangente a H em p.

(c) H é orientável? Justifique.