SISTEMAS CAÓTICOS: UMA PERSPECTIVA PROBABILÍSTICA
JOSÉ FERREIRA ALVES
Departamento de Matemática Pura, FCUP
 

RESUMO
Entendemos por sistema dinâmico qualquer processo que evolua com o tempo. Como exemplos, podemos citar o clima (a atmosfera terrestre, com as suas temperaturas, pressões e humidades), a evolução de uma população num determinado ecossistema, ou ainda a variação das cotações das acções numa bolsa de valores. Em termos matemáticos, é possível modelar muitos desses sistemas apresentando um conjunto X (espaço de fases) e uma transformação f : X --> X que fornece a lei de evolução do
sistema: de um estado x_0 em X o sistema passa ao estado x_1 = f(x_0), que posteriormente passa ao estado x_2 = f(x_1), e assim sucessivamente. A sucessão (x_n)_{n => 0} é designada a órbita de x_0. Um dos principais objectivos da teoria dos sistemas dinâmicos consiste em tentar descrever o comportamento das órbitas, pelo menos em termos assimptóticos.

Mesmo sistemas com leis de evolução muito simples podem apresentar grande sensibilidade em relação às condições iniciais, isto é, partindo de estados inicias x_0 e x'_0, ainda que muito próximos, obteremos, em pouco tempo, padrões completamente distintos para o comportamento das suas órbitas. Tais sistemas são ditos caóticos. Apesar de, em termos determinísticos, ser muito difícil descrever o comportamento das órbitas de um sistema caótico, em termos probabilísticos a situação pode ser completamente diferente, obtendo-se, muitas vezes, resposta afirmativa à seguinte questão:

Para efeitos de aplicações da teoria, reveste-se de grande importância o estudo da estabilidade das propriedades estatísticas de um sistema por pequenas perturbações: do estado x_0 o sistema passa a um estado x_1^eps eps-próximo (a uma distância menor do que eps) de f(x_0), passando de seguida a um estado x_2^eps eps-próximo de f(x_1^eps), e assim sucessivamente. Uma sucessão (x_j^eps)_{j => 0} tal que x_{j+1}^eps está eps-próximo de f(x_j^eps) é designada uma <I>eps-pseudo-órbita</I>. As questões abaixo aparecem naturalmente.

Em caso de obtermos resposta afirmativa a ambas as questões acima, dizemos que o sistema é estocasticamente estável.

Nesta palestra apresentaremos alguns resultados recentes obtidos conjuntamente com V. Araújo (Univ. Porto), C. Bonatti (Univ. Dijon) e M. Viana (IMPA, Rio de Janeiro), mostrando que certas classes de sistemas caóticos, não só apresentam medidas físicas descrevendo o comportamento estatístico das suas órbitas, como ainda são estocasticamente estáveis.

[1] J. F. Alves, V. Araújo, Random perturbations of nonuniformly expanding maps, a publicar em Astérisque.

[2] J. F. Alves, C. Bonatti, M. Viana, SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly expanding, Invent. Math. 140 (2000), 351-398.