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GRACINDA
GOMES, Departamento de Matemática, FCUL
ORDENS
DE RETICULADO NATURAIS NO SEMIGRUPO INVERSO LIVRE
RESUMO
É bem conhecido que o grupo livre FG(X), num conjunto não
vazio X, pode ser totalmente ordenado e que toda a ordem de reticulado
que é compatível em FG(X) é uma ordem total.
Quanto ao semigrupo
inverso livre FI(X) sabe-se que
não pode ser totalmente ordenado [2]. No entanto, podemos
mostrar que FI(X) admite ordens de reticulado que são compatíveis,
as quais estão intrinsecamente ligadas às ordens totais
em FG(X). Este resultado surge como consequência do estudo
de uma classe mais geral de semigrupos inversos E-unitários
naturalmente ordenados.
[1] L. Fuchs,
Partially Ordered Algebraic Systems, Pergamon, Oxford, 1963.
[2] T. Saitô,
No free inverse semigroups is orderable, Proc. Japan Acad.
50 (1974) 837-838.
[3] G.
M. S. Gomes, E. Giraldes e D. B. McAlister,
On a class of lattice ordered inverse semigroups, J. Algebra
230 (2000) 496-517.
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PEDRO V. SILVA, Departamento
de Matemática Pura, FCUP
SUBCONJUNTOS
RACIONAIS DO GRUPO LIVRE
RESUMO
Num artigo publicado em 1996, Géraud Sénizergues demonstrou
uma conjectura proposta por Jacques Sakarovitch em 1979: dado um
subconjunto racional do grupo livre, ou este é reconhecível
(união de H-classes para algum subgrupo normal H de índice
finito) ou então disjuntivo (a respectiva congruência
sintáctica é a identidade). Uma das consequências
desta demonstração foi a obtenção de
um algoritmo para determinar se um dado subconjunto racional do
grupo livre é ou não reconhecível. Tomando
como ponto de partida este problema, desenvolvemos duas abordagens
diferentes da de Sénizergues, que permitem obter diversas
caracterizações algorítmicas dos subconjuntos
reconhecíveis e demonstrações alternativas
dos resultados de Sénizergues, incluindo a conjectura de
Sakarovitch.
A primeira abordagem
usa técnicas oriundas do contexto dos monoides e autómatos
inversos e tem a vantagem de produzir diversas caracterizações,
entre as quais se incluem as mais sugestivas.
A segunda abordagem
tem o mérito de ser mais universal e permitir consequentes
generalizações a outras classes de grupos.
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BENJAMIM STEINBERG, Departamento
de Matemática Pura, FCUP
O
PROBLEMA DA EXTENSÃO PARA PERMUTAÇÕES PARCIAIS
RESUMO
Encontra-se frequentamente, na Matemática, o problema de
estender automorfismos parciais, duma estrutura, para automorfismos
totais (talvez com condições extras impostas). Por
exemplo, na Teoria de Grupos, a extensão dum automorfismo
parcial dum grupo, para um automorfismo induzido por conjugação,
foi considerada por Higman, Neumann e Neumann, na construção
de extensão de HNN. Eles provaram que tal extensão
existe sempre e como, consequência, mostraram que qualquer
grupo numerável mergulha num grupo gerado por dois elementos.
O problema de
extensão finita de automorfismos parciais duma estrutura
finita considera-se frequentamente, na Teoria de Modelos. Hrushovski
estudou a situacao para grafos; isso foi generalizado, por Herwig
e Lascar, para estruturas mais gerais.
Este problema
tem significada particular, na Teoria de Semigrupos. O facto que
qualquer permutação parcial dum conjunto finito poder
ser estendido para uma permutação do mesmo conjunto
é equivalente
(formalmente) ao teorema de Marshall Hall sobre grupos livres e
o teorema de revestimento de semigrupos inversos finitos de McAlister.
Em trabalho
com Karl Auinger, mostramos que existe uma classe
H de grupos solúveis finitos, fechado por produtos
directos, subgrupos e quocientes, com problema de pertênça
decidível, tal que não é decidível se
um conjunto S de permutações parciais dum conjunto
finito X pode ser estendido para um conjunto T de permutações
dum sobreconjunto finito Y supseteq X tal que o subgrupo de S_Y
gerado por T pertence ao H.
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J. A. DIAS DA SILVA, Departamento
de Matemática, FCUL
TEORIA
ADITIVA PARA FUNÇÕES SIMÉTRICAS
RESUMO
Nesta apresentação referir-nos-emos à generalização
dos problemas clássicos da Teoria Aditiva de Números
que se obtém considerando em vez de conjuntos de somas de
n elementos de um corpo F, isto é subconjuntos de
{ s_{1,n} (a_1,...,a_n)
= a_1+...+a_n: a_i em F, i=1,...,n } ,
conjuntos de
imagens por outro polinómio simétrico elementar de
n-uplos de elementos de F, isto é subconjuntos de
{ s_{k,n} (a_1,...,a_n):
a_i em F, i=1,...,n }.
Discutiremos os resultados obtidos, a complexidade e as dificuldades
na abordagem destes problemas.
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JOÃO FILIPE QUEIRÓ, Departamento
de Matemática, FCTUC
ESPECTROS
PARCIAIS DE SOMAS DE OPERADORES HERMÍTICOS
RESUMO
Dados dois espectros reais alpha e beta, e um espectro parcial gamma',
como saber se existem operadores hermíticos A e B, com espectros
alpha e beta respectivamente, tais que gamma' seja parte do espectro
de A+B?
Nesta palestra
far-se-ão algumas observações sobre este problema
em aberto.
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MARIA MANUEL CLEMENTINO, Departamento
de Matemática, FCTUC
SOBRE ÁLGEBRAS LASSAS
RESUMO
A imersão da categoria dos conjuntos numa bicategoria de
matrizes generalizadas permite enfraquecer de forma natural os axiomas
de álgebra e de homomorfismo de álgebras para uma
mónada, definindo deste modo categorias de álgebras
lassas. Estas álgebras abrangem estruturas de índole
diversa, que vão desde categorias e multicategorias pequenas,
a estruturas topológicas, tais como espaços topológicos,
uniformes e métricos. Nesta comunicação introduzimos
a teoria das álgebras lassas e mostramos a sua influência
na investigação de vários problemas.
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