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PAULA
DE OLIVEIRA, Departamento de Matemática, FCTUC
A SIMULAÇÃO NUMÉRICA
NA INDÚSTRIA DO PAPEL
RESUMO
A indústria do papel ocupa um lugar particularmente importante
nas economias europeias. Para melhorar a qualidade da pasta de papel
é fundamental dispôr de métodos numéricos
que simulem a experimentação em situações
em que esta comporte riscos ou que assuma alguma complexidade.
Na indústria
da pasta de papel o equipamento central, que se designa por digestor,
é um reactor de leito móvel onde ocorre a transformação
de aparas de madeira em pasta de papel.
Neste trabalho
ilustramos a interface entre um processo industrial muito complexo
- o funcionamento do digestor - e a modelação matemática,
evidenciando-se que esta relação interdisciplinar
pode ser muito frutuosa, pois fornece, do ponto de vista da Engenharia
Química, uma alternativa à experimentação,
mais flexível e económica e, do ponto de vista da
matemática, porque sugere um vasto número de problemas
passíveis de serem objecto de investigação
fundamental.
O funcionamento
do reactor é explicado de modo simples, sendo introduzidas
as equações de derivadas parciais de difusão
- convecção - reacção que descrevem
tal funcionamento. A solução analítica deste
sistema não sendo conhecida, são introduzidos métodos
numéricos que fornecem simulações precisas,
relativas à concentração de reagentes e à
temperatura a que decorrem as operações.
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HÉLDER RODRIGUES,
Departamento de Engenharia Mecânica, IST
PROJECTO ÓPTIMO DE MICRO
ESTRUTURAS DE MATERIAIS CELULARES
RESUMO
O projecto óptimo da micro estrutura de materiais celulares
é actualmente uma das áreas de maior desenvolvimento
e aplicação em optimização estrutural.
Neste
trabalho é apresentado um modelo de optimização
de topologia aplicado à identificação da micro
estrutura óptima de materiais celulares sujeitos a condições
de carregamento múltiplo.
É formulado
o modelo analítico do problema recorrendo a um método
assimptótico de homogeneização para caracterizar
as propriedades mecânicas equivalentes do material celular
e utilizando uma função objectivo (ou de custo) que
caracteriza a rigidez global da micro estrutura na qual o carregamento
múltiplo é introduzido através da soma ponderada
da energia de deformação associada a cada uma das
cargas aplicadas.
Em seguida são
apresentadas as condições necessárias que caracterizam
a micro estrutura óptima e é desenvolvido o respectivo
modelo computacional utilizado na sua resolução. Por
fim são apresentados diversos exemplos de aplicação
que substanciam os desenvolvimentos apresentados e os resultados
numéricos obtidos são analisados e comparados com
soluções limite obtidas analiticamente.
Trabalho conjunto com:
J. M. Guedes (IDMEC, IST) e M. P. Bendsoe
(Department of Mathematics, Technical University of Denmark).
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RAFAEL
SANTOS, Faculdade de Ciências e Tecnologia,
Universidade do Algarve
MÉTODOS MÓVEIS: ESTIMAÇÕES
DE ERRO NA FORMULAÇÃO MISTA DE EQUAÇÕES
DE DERIVADAS PARCIAIS
RESUMO
A utilização de malhas móveis para a resolução
de equações de derivadas parciais é aconselhável
quando a solução procurada apresenta grandes variações
em regiões localizadas do seu domínio, podendo estas
variar com o tempo. Um exemplo são os problemas de convecção-difusão.
Aqui, analisa-se
um método de elementos finitos móveis para a equação
delta_t - grad . (a grad u + bu) = f, no contexto de uma formulação
mista, isto é, considera-se o problema de aproximar (u,sigma),
solução de
(alpha sigma
+ (beta + alpha x') u - (u, div X ) = 0, para todo o X em H(div,Omega),
(Du/Dt + div
sigma + (grad . x')u, r) = (f,r), para todo o r em L^2(Omega).
em que Omega
é subconjunto de Rn e H(div,Omega) representa o conjunto
das funções de L^2(Omega) cuja divergência pertence
a L^2(Omega). A solução aproximada (u_h, s_h) em V_h
× H_h em que V_h é um espaço de polinómios
e H_h é o correspondente espaço de Raviart-Thomas.
Após a introdução de um operador (pseudo-)inverso
do operador divergência e do estudo de algumas das suas propriedades,
prova-se a estabilidade do método mediante algumas hipóteses
sobre a regularidade de Omega e sobre os operadores de projecção
sobre V_h e H_h, e também com algumas restrições
sobre o tamanho dos elementos e o movimento da malha. A estabilidade
é demonstrada através do método de energia
obtendo-se estimações de erro em normas naturalmente
associadas ao problema. No caso particular de uma dimensão
de espaço consegue-se obter um resultado de superconvergência.
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ADÉLIA
SEQUEIRA, Departamento de Matemática, IST
MODELOS MATEMÁICOS E NUMÉRICOS
DO SISTEMA CARDIOVASCULAR
RESUMO
A estrutura geométrica da rede vascular e a composição
heterogénea do sangue, assim como as interacções
mecânicas e bioquímicas com as paredes dos vasos e
o movimento pulsátil do fluxo sanguíneo, são
fenómenos extremamente complexos. Torna-se por isso impossível
a construção de um modelo matemático tridimensional
não-estacionário de todo o sistema circulatório
que permita a simulação destas características
e a sua aplicação ao estudo dos efeitos hemodinâmicos
nos diversos tipos de doenças cardiovasculares. Um dos desafios
da investigação nesta área consiste no desenvolvimento
de um modelo matemático que, tendo em conta os recursos computacionais
disponíveis, seja exequível e inclua as complexidades
mais relevantes do sistema cardiovascular.
As propriedades
reológicas do sangue e dos seus elementos desempenham um
papel importante na fisiologia da circulação sanguínea.
É geralmente aceite numa primeira aproximação,
e em particular no que se refere à circulação
nos vasos de grande e médio diâmetro, que o sangue
se comporta como um meio contínuo, com características
uniformes de tipo fluido Newtoniano incompressível. Contudo,
o sangue é um fluido viscoelástico com comportamento
pseudo-plástico e, pelo menos a nível da microcirculação,
estes efeitos não podem ser subestimados. A análise
e simulação numérica de modelos de fluidos
não-Newtonianos representativos das principais características
reológicas do fluxo sanguíneo (em particular da sua
microestrutura anisotrópica) e a correspondente validação
através de parâmetros hemodinâmicos e reológicos
obtidos in vivo, constitui um dos objectivos fundamentais
da investigação nesta área.
Importa salientar
ainda a importância da natureza multiescalar do sistema circulatório
e o facto de o comportamento local do fluxo sanguíneo poder
ter um efeito global na circulação. O desenvolvimento
e análise de modelos multiescala do sistema circulatório
do sangue é um tema de abordagem muito recente. Baseia-se
em metodologias que associam modelos matemáticos de complexidade
e dimensão espacial diferentes, nomeadamente modelos 3-D
de interacção fluido-estrutura para o escoamento em
pequenas secções vasculares, com modelos de aproximação
para a simulação em larga escala, 1-D e de tipo lumped
parameters, menos dispendiosos do ponto de vista computacional.
O desafio consiste em obter simuladores computacionais eficientes
para todo o sistema vascular, permitindo em simultâneo uma
representação detalhada de morfologias específicas.
Neste seminário
serão apresentados os aspectos fundamentais da análise
matemática e da simulação numérica de
modelos locais e globais de tipo multiescala do fluxo sanguíneo
no sistema cardiovascular humano.
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FILOMENA DIAS D'ALMEIDA, Faculdade
de Engenharia da Universidade do Porto
MÉTODOS BASEADOS EM SUBESPAÇOS
DE KRYLOV
RESUMO
Os métodos iterativos mais recomendados hoje em dia para
a resolução de grandes sistemas, pela sua rapidez,
e convergência em grande número de casos, são
os métodos baseados em subespaços de Krylov.
A ideia base
deste tipo de métodos é procurar uma solução
aproximada para o sistema Ax = b num subespaço de Krylov
afim x_0 + K_m(A, r_0) =
{v: v = x_0 + \sum_{i=0}^{m-1} = c_i A^i r_0}, sendo K_m(A, r_0)
gerado por (r_0, A r_0 , ... , A^{m-1} r_0 ), onde r_0 é
o resíduo de uma solução inicial x_0 dada.
A ortogonalização
da base do subespaço de Krylov em causa, é feita por
um processo de Gram-Schmidt modificado, e a projecção
do problema Ax = b nesse subespaço, por um processo de Lanczos,
ou de Arnoldi, no caso não simétrico, conduzindo a
um problema projectado, de menor dimensão, tridiagonal, no
caso simétrico, e da forma de Hessenberg, no caso não
simétrico.
O problema a
resolver, no subespaço de menor dimensão, caracteriza
os diferentes métodos de tipo Krylov.
No caso do método
do Gradiente Conjugado (CG), que também se pode relacionar
com o método da descida mais rápida, no subespaço
K_m(A, r0) resolve-se um problema de minimização da
norma-A do erro. Isto é equivalente a impor que o
resíduo de x_m seja ortogonal a qualquer vector de K_m.
As tentativas
de generalização deste método ao caso não
simétrico, em que os resíduos não são
ortogonais, deram origem a vários métodos, entre os
quais o mais robusto é o método GMRES, Generalized
Minimum RESidual.
Outros métodos
iterativos minimizam o espaço memória requerido, embora
sejam menos robustos. É o caso dos métodos BiCG, CGS,
BiCGSTAB, QMR.
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A.
PINTO DA COSTA,
Departamento de Engenharia Civil, IST
SISTEMAS COM CONTACTO UNILATERAL
E ATRITO DE COULOMB:
ESTUDO LOCAL DE TRAJECTÓRIAS QUASE-ESTÁTICAS
RESUMO
Nesta apresentação estudam-se numericamente algumas
propriedades locais de trajectórias quase-estáticas
de sistemas mecânicos de dimensão finita, em contacto
unilateral com atrito com obstáculos rígidos. Este
tipo de problemas é regido por um conjunto de equações
e condições de comportamento não-suave, isto
é, que envolvem operadores não-diferenciáveis
nos sentidos de Fréchet ou de Gâteaux. Do estudo de
sistemas de pequena dimensão sabe-se que à não-suavidade
dos problemas correspondem algumas características locais
notáveis nas trajectórias de equilíbrio, nomeadamente,
a ocorrência de pontos limite angulosos e de segmentos contínuos
de pontos de bifurcação.
De entre os
vários problemas de contacto unilateral com atrito, um que
capta as características locais das trajectórias é
o problema quase-estático nas taxas, em que intervêm
as derivadas (à direita) dos deslocamentos e das reacções
de contacto. Utilizando mudanças de variáveis apropriadas,
é possível estabelecer diferentes formulações
para o problema das taxas, que podem ser úteis nos estudos
de existência/unicidade de solução ou na obtenção
numérica de soluções. Nesta comunicação
apresentam-se duas formulações para o problema das
taxas: uma conduz a um problema de complementaridade explícito
misto, em que as condições de complementaridade
envolvem pares de variáveis (cinemáticas e estáticas)
pertencentes a um par de cones duais; a outra formulação
conduz a um problema de complementaridade linear, em que
todos os pares de variáveis complementares pertencem ao primeiro
quadrante. O problema das taxas tem uma natureza combinatória,
no sentido de que o número de comportamentos tangentes que
o sistema mecânico pode exibir a partir de um estado de equilíbrio
é função (de crescimento exponencial) do número
total de combinações das várias possibilidades
de evolução das diversas partículas em deslizamento
iminente e em contacto sem reacção. É possível
efectuar estudos numéricos completos sobre a ocorrência
de bifurcações, se se aplicar um algoritmo devido
a De Moor, que permite calcular todas as tangentes aos ramos
de trajectória de equilíbrio que se iniciam num estado
de equilíbrio. Este algoritmo baseia-se em considerações
geométricas, é directo e não envolve inversões
de matrizes.
Os estudos numéricos
apresentados referem-se a um modelo de elementos finitos para uma
versão contínua de um exemplo originalmente proposto
por Klarbring e que envolvia uma única partícula de
contacto. Comparam-se os resultados obtidos com o modelo de elementos
finitos com os do modelo original de Klarbring, mostrando-se que,
tal como ocorre no modelo com uma só partícula, também
o modelo de elementos finitos pode ter multiplicidade ou ausência
de solução, para certas direcções das
taxas de carregamento e para valores suficientemente elevados do
coeficiente de atrito.
Trabalho conjunto com:
J. A. C. Martins (Departamento de Engenharia Civil, IST).
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