RESUMO
Um grupo categórico G é um grupóide com um funtor G x G --> G que satisfaz os axiomas usuais de um produto num grupo. Na teoria de homotopia os grupos categóricos, sempre com a topologia discreta, foram inventados como modelo algébrico de tipos de 2-homotopia de complexos CW. Na minha apresentação vou mostrar que também existem grupos categóricos diferenciais, que chamarei 2-grupos de Lie. A seguir falarei de fibrados principais torcidos, que são fibrados principais a menos de um "defeito abeliano". Tal como no caso de fibrados principais normais, existem fibrados vectoriais torcidosassociados, cuja K-teoria é conhecida pelo nome de K-teoria torcidana topologia algébrica. Também existem conexões torcidas.

No entanto a definição de holonomia torcidatem sido problemática. Apresentarei uma proposta em que defino esta holonomia como um funtor entre dois 2-grupos de Lie, insinuando que um fibrado principal torcido pode ser considerado como um fibrado principal cujas fibras são isomorfos a um 2-grupo de Lie. Formularei um teorema que mostra que tais funtores caracterizam completamente os fibrados principais torcidos com conexões torcidas.

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ANTÓNIO ARAÚJO, Departamento de Matemática, FCUL
ESPAÇOS DE MODULI DE GERMES DE CURVAS LEGENDRIANAS

RESUMO
Construímos espaços de moduli de germes de subvariedades Lagrangeanas cónicas singulares de uma variedade simpléctica de dimensão 4. A projectivização de uma variedade Lagrangeana é uma subvariedade Legendriana de uma variedade de contacto.

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PETER GOTHEN, Departamento de Matemática Pura, FCUP
TOPOLOGIA DE VARIEDADES DE REPRESENTAÇÕES

RESUMO
Seja pi um grupo dado por um número finito de geradores e relações e seja G um grupo de Lie. O conjunto de homomorfismos pi --> G tem uma estrutura natural de variedade. Isto é fácil de ver no caso em que G é um grupos de matrizes: sendo N o número de geradores de pi, o conjunto de homomorfismos pi --> G pode ser identificado com o subconjunto de G^N constituído por tuplos de matrizes que satisfazem as relações de pi.

Estreitamente ligados com as variedades de representações são os respectivos espaços de moduli, em que se identificam representações
isomorfas: isto corresponde a considerar o quociente da variedade de representações pela acção de conjugação por G.

As propriedades geométricas e topológicas destes espaços são de grande interesse. No caso em que pi é o grupo fundamental de uma superfície de Riemann X, os espaços de moduli podem ser identificados com espaços que têm um ligação estreita com a geometria de X. Um exemplo famoso deste tipo de resultado é o Teorema de Narasimhan e Seshadri. Este teorema diz que o espaço de moduli de representações unitárias do grupo fundamental de uma superfície é homeomorfo ao espaço de moduli de fibrados vectoriais holomorfos estáveis. Embora a sua construção seja mais complicada, este último espaço tem uma geometria mais rica, essencialmente devido à sua dependência da estrutura conforme da superfície. Este facto permite tirar conclusões muito fortes sobre os espaços de moduli.

O teorema de Narasimhan e Seshadri pode ser generalizado a outros grupos de Lie compactos. No caso de representações do grupo fundamental num grupo de Lie não compacto, também existe um resultado análogo (devido a Corlette, Donaldson, Hitchin e Simpson). Neste caso a variedade de representações é homeomorfa a um espaço de moduli de chamados fibrados de Higgs: estes são pares constituídos por um fibrado holomorfo e uma 1-forma holomorfa com valores nos endomorfismos do fibrado.

Nesta comunicação apresentamos os fibrados de Higgs necessários para estudar representações no grupo pseudo-unitário U(p,q) e explicamos como estudar o invariante topológico mais básico do respectivo espaço de moduli, nomeadamente o seu número de componentes conexas, usando ideias da Teoria de Morse-Bott. A chave para resolver esta questão é o estudo de certas subvariedades do espaço de moduli que podem ser identificadas com espaços de moduli de chamados ternos holomorfos.

Trabalho conjunto com: S. Bradlow (University of Illinois at Urbana Champaign) e O. Gracia-Prada (Universidad Autónoma de Madrid).

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ANTONIO M. NAVEIRA,Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Valencia
TWO OPEN PROBLEMS IN REAL AND COMPLEX INTEGRAL GEOMETRY

RESUMO
In this lecture we state two problems related with Integral Geometry.

In the first we try to obtain analytical inequalities which become equivalent to the inequalities among the integrals of the mean curvatures of a hypersurface in the euclidean space.

The second problem is related to the Complex Integral Geometry. We try to analyse the "complex quermaBETAintegrale" of a convex body contained in the complex euclidean space.