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JAIME
CARVALHO E SILVA, Departamento de Matemática,
FCTUC
UMA
NOVA VISÃO DO PAPEL DE CARDANO NO DESENVOLVIMENTO DOS NÚMEROS
COMPLEXOS
RESUMO
Os textos de História da Matemática contêm invariavelmente
algo semelhante ao que aparece no excelente livro de Viktor Katz:
"Much else of interest is found in Cardano's masterpiece, including
... the first appearance of complex numbers, not in connection with
cubic equations, but in connection with a quadratic problem (...)
Cardano thus left off the discussion and wrote no more about complex
numbers." Tentaremos analisar esta última afirmação
à luz de vários extractos da obra "Ars Magna"
de Cardano.
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CARLOTA
SIMÕES e JOÃO FERNANDES, Departamento
de Matemática, FCTUC
SOBRE
O INÍCIO E O FIM DOS TEMPOS
RESUMO
O início e o fim dos tempos foram sempre uma preocupação
para a humanidade. Do ponto de vista da astronomia, diversas perspectivas
têm sido apresentadas ao longo dos séculos. Desde Kepler
a Hubble, de Ussher a Hawkins, várias têm sido as propostas
para uma pergunta ainda sem resposta. Para Kepler e Ussher, o início
dos tempos estaria determinado por uma certa configuração
dos planetas no céu, manifestando simetrias que só
poderiam ter sido criadas por um ser superior. Para Hubble e Hawkins,
o início assenta na teoria do Big Bang e na observação
do afastamento das galáxias. Quanto ao fim dos tempos, discutiremos
várias propostas e vários modelos que têm sido
sugeridos ao longo da História tanto por filósofos
como por astrónomos.
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JOSÉ
MANUEL C. TEIXEIRA, Esc. EB 2,3 de Soares
dos Reis, Vila Nova de Gaia
A
POLÉMICA DO SÉC. XVIII SOBRE A UTILIZAÇÃO
DAS SÉRIES DIVERGENTES NAS DEMONSTRAÇÕES
RESUMO
No século XVIII, a primeira questão que se colocava
no estudo de uma série infinita não era a da sua convergência,
mas a de encontrar um processo que permitisse atribuir-lhe uma soma.
A teoria das séries fazia parte da álgebra, a qual
era vista como uma aritmética generalizada. De acordo com
esta visão, acreditava-se que os métodos válidos
no domínio finito continuavam válidos após
passagem ao infinito. Na base dessa crença estava o princípio
de continuidade de Leibniz. Em particular, as séries de potências
eram encaradas como polinómios, sobre as quais poderiam ser
efectuadas, sem restrições, as mesmas operações.
Na "Epistola
ad V. Cl. Christianum Wolfium, professorem matheseos halensen, circa
scientiam infiniti" de 1713, Leibniz considerou o caso paradoxal
da série divergente 1-1+1-1+...=1/2. Leibniz misturou considerações
metafísicas com considerações matemáticas.
Um bom exemplo
do espírito do século XVIII é o trabalho que
Euler dedicou, em 1734-5, ao estudo da série dos recíprocos
dos quadrados dos números
naturais:
1+1/4+1/9+...=pi^2/6. Os métodos utilizados na descoberta
da soma desta
série
surpreenderam os matemáticos da época. Logo que recuperaram
da estupefacção, criticaram a falta de fundamentação
dos métodos de Euler no tratamento das expressões
infinitas, principalmente a utilização das séries
divergentes. Um dos críticos foi Nikolaus Bernoulli. Uma
polémica foi disputada por carta entre os dois matemáticos
durante os anos quarenta. Numa carta de 1745 a Goldbach, Euler deu
a sua célebre definição para a soma de uma
série divergente.
Com o intuito
de esclarecer definitivamente todas as dúvidas relativamente
à utilização das séries divergentes,
Euler escreveu, em 1754-5, o artigo "De seriebus divergentibus".
Pretendendo salvaguardar a utilidade das séries divergentes,
Euler procurou atribuir um significado à soma de uma série
divergente. Isso levou-o a escrever expressões como -1=1+2+4+8+16+L.
A concepção subjacente à interpretação
desta igualdade era essencialmente algébrica, por oposição
a uma concepção aritmética, que só fazia
sentido quando a série em consideração era
convergente.
O final do século
XVIII assiste à tentativa protagonizada por Lagrange de fundar
o cálculo infinitesimal na álgebra das séries
de potências. As ideias de Lagrange eram muito próximas
das de Euler no que dizia respeito à concepção
algébrica da análise; contudo, as suas preocupações
com questões de fundamentos não tinham paralelo em
todo o século XVIII. A tradição algébrica
da análise entrou em decadência a partir dos anos vinte
do século XIX, com o trabalho de Cauchy.
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ANTÓNIO
LEAL DUARTE, Departamento de Matemática, FCTUC
UMA
COLECÇÃO DE AZULEJOS (Séc. XVII - XVIII) COM
FIGURAS DE ELEMENTOS DE EUCLIDES
RESUMO
Será apresentada uma descrição de uma colecção
de azulejos
do Museu Machado de Castro com figuras dos Elementos de Euclides
bem como das razões que levaram a indentificar essas figuras
com reproduções das figuras da versão de Andreias
Tacquet dos Elementos de Euclides. Será discutida a possível
proveniência dos referidos azulejos.
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MARIA
DA GRAÇA ALVES e MARIA FERNANDA ESTRADA, Departamento
de Matemática, Universidade do Minho
NOTAS
SOBRE O CURSO DE ANALYSE INFINITESIMAL DE F. GOMES TEIXEIRA. A CONSTRUÇÃO
DOS REAIS
O Curso de Analyse
Infinitesimal de Gomes Teixeira teve quatro edições:
1887, 1890, 1896, 1906. Além destas, há uma versão
- que chamamos edição zero - e que foi publicada,
em partes, no ANNUARIO DA ESCOLA POLYTECHNICA DO PORTO, desde 1884-85
a 1891-92. Tanto quanto sabemos, os livros da Análise Infinitesimal
da época não contemplavam uma introdução
sobre os números reais. Parece-nos que Gomes Teixeira se
decide a integrar no seu livro tal introdução por
razões pedagógicas, no sentido de dar uma fundamentação
para o Cálculo Infinitesimal e para a Geometria Analítica.
Como se sabe, as principais memórias sobre a construção
dos reais são de 1872 (Weierstrass, Heine, Cantor, Dedekind
e Meray). Vamos comparar os textos das sucessivas edições
do Curso sobre este assunto, procurando destacar:
i) A actualidade de Gomes Teixeira, que mostra conhecer as memórias
citadas e ainda outras posteriores.
ii) Como Gomes Teixeira vai levantando a sua própria construção
dos
reais, embora nela se notem influências dos autores citados.
iii) Como tal teoria é exposta com uma sucessiva exigência
de rigor, desde
a edição zero ate a 4ª edição.
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REINHARD KAHLE,Fakultät für Informatik, Universität Tübingen
HILBERT'S PARADOX
In 1903 Gottlob Frege sent a complimentary copy of the second volume
of the Grundgesetze der Arithmetik to the Göttingen mathematician
David Hilbert, containing in the postscript the description of
Russell's Paradox. In his response Hilbert declared that the paradox
described had been known in Göttingen for a long time. He himself had
found other, even more convincing examples four to five years ago, and
after having informed Zermelo the latter found the one mentioned by
Frege three to four years ago.
It is well known that Zermelo indeed discovered a set-theoretical
paradox in Cantor's theory, independently of Russell. But what were
these contradictions Hilbert claimed to have found around 1898/1899?
There are some further traces of Hilbert's Paradox in correspondences
of the time. The most explicit hint can be found in Blumenthal's
biography of Hilbert in 1935 where we read that Hilbert formulated the
contradictory notion of the set of all sets which arise from union and
mapping on themselves.
Volker Peckhaus was able to discover the paradox mentioned by
Blumenthal which is most likely the one Hilbert referred to in his
letter to Frege. It is presented in an unpublished lecture course of
Hilbert's delivered in the summer term of 1905 on "Logische Principien
des mathematischen Denkens". There, Hilbert discusses the paradoxes of
set theory mentioning Zermelo's paradox and a contradiction of "purely
mathematical nature" which was never published, as Hilbert stressed,
but known to set-theorists, especially to Georg Cantor.
We will describe Hilbert's Paradox and reconstruct it using modern
tools. We will see that it is a variant of Cantor's Paradox based on a
naive formulation of the union axiom.
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