Ano Lectivo 2001/2002

Mestrado em Matemática

 

O Departamento de Matemática da F.C.T.U.C. oferece, no ano lectivo de 2001/2002, o Mestrado em Matemática nas áreas de especialização de

· Matemática Pura

· Matemática Aplicada

No âmbito da legislação em vigor, o grau será concedido após aprovação em curso especializado e elaboração e discussão de uma dissertação. No curso especializado, que funciona no primeiro ano, o aluno deverá obter 16 créditos correspondentes à aprovação no Seminário e em quatro das disciplinas oferecidas. Normalmente cada aluno frequenta o Seminário e duas disciplinas em cada semestre sendo, no entanto, possíveis outras alternativas quanto ao número de disciplinas por semestre. A escolha das disciplinas a frequentar necessita da concordância do orientador que é atribuído ao aluno após admissão no Mestrado.

O segundo ano é integralmente dedicado à elaboração da dissertação.

 

· Candidaturas

As candidaturas são apresentadas na secretaria do Departamento de Matemática de 10 de Julho a 24 de Agosto de 2001. Os interessados deverão entregar o seu Curriculum Vitae e um requerimento solicitando a sua admissão. Nesse requerimento serão indicados os temas de investigação por ordem decrescente de preferência. O trabalho de Seminário e a dissertação incidirão sobre o tema de investigação que vier a ser atribuído.

· Início das aulas

As aulas iniciar-se-ão em 17 de Setembro de 2001.

 

TEMAS DE INVESTIGAÇÃO

 ·MATEMÁTICA PURA

Álgebra

Geometria

·MATEMÁTICA APLICADA

Probabilidades e Estatística

 

CURSO ESPECIALIZADO

1º Semestre

· Álgebras de Lie e Grupos de Lie

Professora: Maria de Fátima Leite

Programa: Teoria (algébrica) das álgebras de Lie, incluindo a classificação completa das álgebras semisimples e o estudo detalhado das álgebras clássicas. Teoria (geométrica) dos grupos de Lie, dando ênfase aos grupos de Lie matriciais - Álgebra de Lie de um grupo de Lie (conceito geométrico de uma álgebra de Lie) - Aplicação exponencial e suas propriedades - Determinação das álgebras de Lie dos grupos de Lie clássicos

Pré-requisitos: Conhecimentos básicos de: álgebra linear; teoria das matrizes; teoria das variedades.

 

· Estimação Funcional

Professoras: Ana Cristina Rosa, Maria Emília Nogueira

Programa: Introdução à teoria da estimação não paramétrica. Estimação da função de repartição, da função den-sidade e da função de regressão no contexto da amostra-gem casual. Consistência e leis assintóticas dos estima-dores construídos pelo método do núcleo de Parzen-Rosenblatt. Aplicação à estimação de parâmetros funcionais relacionados com a densidade. Estimação funcional em presença de observações dependentes.

Pré-requisitos: Análise, Probabilidades e Estatística.

 

· Teoria das Representações de Grupo

Professora: Ana Paula Santana

Programa: 1. Representações matriciais e lineares de grupos; Redutibilidade; Teorema de Maschke. 2. Módulos e anéis semi-simples; Representações dos grupos abe-lianos finitos e do grupo simétrico. 3. Produtos tensoriais; Técnicas de construção de representações. 4. Teoria geral de caracteres. 5. Caracteres sobre C de grupos finitos.
6. Teorema pa qb de Burnside.

Pré-requisitos: Conhecimentos que normalmente se obtêm nas disciplinas de Álgebra Linear e Álgebra. Pressupõe-se também familiaridade com os rudimentos de teoria dos módulos, dados numa disciplina de Álgebra Comutativa .

 

· Teoria dos Invariantes Algébricos

Professor: Alexander Kovacec

Programa: O que é a Teoria dos Invariantes? Exemplos. Polinómios simétricos e invariantes Eucliddianos. Bases de Grobner. O Teorema de Hilbert: a finitude do anel dos invariantes de C[x]G com GGL(n,C) grupo finito. Teorema de Noether: limite superior para o grau dos polinómios duma base de álgebra de C[x]G. O Teorema de Molien: a série de Hilbert de C[x]G. Uma aplicação da Teoria dos Invariantes à Teoria de Códigos. A propriedade de Cohen-Macauley de C[x]G. A decomposição de Hironaka de C[x]G para grupos finitos de reflexão e comutativos. Algoritmos para o cálculo dos invariantes dum grupo.

Pré-requisitos: Álgebra Comutativa.

 

2º Semestre

· Estruturas Ordenadas e Topologia

Professor: Jorge Picado

Programa: Modularidade e distributividade - o Teorema M3-N5; completamento de Dedekind-MacNeille; álgebras de Heyting; ideais e filtros; Teoria da Representação para álgebras de Boole e reticulados distributivos; dualidade de Stone e dualidade de Priestley.

Topologia sem pontos: A categoria dos reticulados locais como ambiente plausível para fazer topologia de modo construtivo. Aplicações à Lógica e à Teoria da Compu-tação. Reticulados locais compactos. A compactificação de Stone-Cech e o Teorema de Tychonoff para reticulados locais. Vantagens relativamente à abordagem clássica.

Pré-requisitos: Conhecimentos básicos de Teoria dos Reticulados, Topologia e Teoria das Categorias.

 

· Geometria Simplética

Professores: Joana Nunes Costa e José Pereira Silva

Programa: Espaços simplécticos e variedades simpléc-ticas. Álgebra de Lie dos campos hamiltonianos. Acções de grupos de Lie sobre variedades simplécticas. Variedades de Poisson. Morfismos e automorfismos infinitesimais de Poisson. Estrutura local e decomposição em folhas simplécticas de uma variedade de Poisson. Redução de variedades de Poisson.

Pré-requisitos: Conhecimentos de Análise, Álgebra e Geometria que normalmente se adquirem numa licenciatura em Matemática.

 

· Séries temporais:Modelações não Lineares

Professoras: M. Esmeralda Gonçalves, M. Nazaré Lopes

Programa: I - Análise probabilista de séries temporais: estacionaridade, inversibilidade, ergodicidade e mistura; estrutura probabilista dos modelos ARMA. II - Séries temporais não lineares: modelação condicionalmente heteroscedástica; modelação bilinear.

Pré-requisitos: Probabilidades.

 

· Teoria e Representação de Álgebras de Lie

Professora: Helena Maria Albuquerque

Programa: I-Álgebras de Lie e Álgebras Associativas:álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie e o Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt; estudo de uma álgebra de Lie a partir das propriedades da sua álgebra envolvente universal e estudo de uma álgebra associativa a partir das propriedades da álgebra de Lie nela induzida. II-Álgebras de Lie solúveis e álgebras de Lie nilpotentes: teorema de Engel e teorema de Lie. III-Introdução à teoria da representação:teorema de Ado-Iwasawa; critério de Cartan e redutibilidade completa das representações de uma álgebra de Lie semisimples; classificação completa dos módulos irredutiveis;grupo de Weyl e suas propriedades; fórmula de Freudenthal.

Pré-requisitos: Conhecimentos básicos de Álgebra.