O Boletim de candidatura a este Mestrado deve conter indicação sobre os temas de investigação por ordem decrescente de preferência. O trabalho de Seminário e a dissertação incidirão sobre o tema de investigação que vier a ser atribuído.

No âmbito da legislação em vigor (decreto-lei nº216/92), o grau será concedido após aprovação em curso de especialização e elaboração e discussão de uma dissertação. No curso de especialização, que funciona no primeiro ano, o aluno deverá obter 16 créditos correspondentes à aprovação no Seminário e em quatro das disciplinas oferecidas. Normalmente cada aluno frequenta o Seminário e duas disciplinas em cada semestre sendo, no entanto, possíveis outras alternativas quanto ao número de disciplinas por semestre. A escolha das disciplinas a frequentar necessita da concordância do orientador que é atribuído ao aluno após admissão no Mestrado.

O segundo ano é integralmente dedicado à elaboração da dissertação.

Temas de investigação: Álgebra e Análise.

Disciplinas do Curso de Especialização

Primeiro semestre	Segundo semestre
Álgebras de Lie Teoria Analítica de Números Teoria da Optimização	Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Lógica e Fundamentos Teoria de Espaços de Funções Teoria das Representações de Grupos

Primeiro Semestre

• Álgebras de Lie (3 créditos) - Profª. Doutora Maria de Fátima da Silva Leite

  Programa: 1. Teoria (algébrica) das álgebras de Lie, incluindo a classificação completa das álgebras semisimples e o estudo detalhado das álgebras clássicas. 2. Teoria (geométrica) dos grupos de Lie, dando ênfase aos grupos de Lie matriciais. 3. Álgebra de Lie de um grupo de Lie (conceito geométrico de uma álgebra de Lie). 4. Aplicação exponencial e suas propriedades. 5. Determinação das álgebras de Lie dos grupos de Lie clássicos. 6. Aplicações.

  Pré-requisitos: Conhecimentos básicos de álgebra linear, teoria das matrizes e teoria das variedades.

• Teoria Analítica de Números (3 créditos) - Prof. Doutor Amílcar José Pinto Lopes Branquinho

  Programa: 1. Teoria geral das fracções contínuas. 2. Números algébricos e transcendentes. 3. Aproximação de Padé. 4. Aproximação de Hermite-Padé. 5. Teoria geral dos polinómios ortogonais múltiplos. 6. Sistemas discretos de Nikishin. 7. Irracionalidade de p2 e z (3).

  Pré-requisitos: Noções gerais de Cálculo Infinitesimal de funções de variavel real e complexa, bem como de Álgebra Moderna.

• Teoria de Optimização (3 créditos) - Prof. Doutor João Luís Cardoso Soares

  Programa: 1. Exemplos de modelos de optimização linear, não linear e inteira. 2. Optimização Linear: sistemas de inequações lineares; dualidade fraca e forte, aplicações; conjuntos convexos e poliedros; método simplex e sua finitude. 3. Optimização Não Linear: condições suficientes para programas convexos; condições necessárias para programas convexos; Teorema de Karush-Kuhn-Tucker. 4. Optimização Inteira: sistemas de equações lineares; sistemas de inequações lineares; poliedros inteiros (unimodularidade total e integralidade dual total).

  Pré-requisitos: Álgebra Linear, Cálculo Avançado.

Segundo Semestre

• Métodos Numéricos para Equações Diferenciais (3 créditos) - Prof. Doutor Adérito Luís Martins Araújo

  Programa: 1. Métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias: propriedades quantitativas e propriedades qualitativas. 2. Métodos numéricos para equações diferenciais: métodos de diferenças finitas; métodos de elementos finitos; propriedades quantitativas e propriedades qualitativas. 3. Resolução numérica de modelos matemáticos que surgem nas ciências e na engenharia.

  Pré-requisitos: Álgebra Linear, Análise e Análise Numérica.

• Lógica e Fundamentos (3 créditos) - Prof. Doutor Eduardo Manuel Freire Marques de Sá

  Programa: A ‘crise dos fundamentos’. Axiomáticas dos conjuntos, de Zermelo e Frænkel, e axiomáticas com classes e conjuntos. Resultados clássicos sobre naturais, ordinais e cardinais. Cálculo proposicional e cálculo dos predicados de primeira ordem. Teoremas da completude, da compacidade lógica e de Löwenheim-Skolem-Tarski. Teorias axiomáticas.

  Pré-requisitos: Conhecimentos genéricos de estruturas algébricas, de análise, de geometria, não necessariamente muito avançados, mas que impliquem bom domínio da representação simbólica em matemática.

• Teoria de Espaços de Funções (3 créditos) - Profs. Doutores Júlio Severino das Neves e Susana M. P. Silva Domingues

  Programa: 1. Conceitos gerais de Teoria da Medida (e.g., Teoremas de Cobertura, pontos de Lebesgue, continuidade aproximada, medida de Hausdorff). 2. Fórmulas da área e da co-área. 3. Espaços de Sobolev (e.g., aproximação, Teoremas do Traço e da Extensão, capacidade, comportamento pontual de funções de Sobolev). 4. Funções de Variação Limitada (e.g., aproximação, Teoremas do Traço e da Extensão, fórmula da co-área, Teorema de Gauss-Green, propriedades pontuais). 5. Diferenciabilidade e aproximação por funções C¹ (e.g., diferenciabilidade q.t.p de funções em W^1,p (Rⁿ) (p>n), diferenciabilidade de segunda ordem q.t.p para funções convexas, Teorema da Extensão de Whitney).

  Pré-requisitos: Conhecimentos básicos de Análise Funcional e Medida e Integração.

• Teoria das Representações de Grupos (3 créditos) - Profª. Doutora Ana Paula Jacinto Santana Ramires

  Programa: 1. Representações matriciais e lineares de grupos; Redutibilidade; Teorema de Maschke. 2. Módulos e anéis semi-simples; Representações dos grupos abelianos finitos e do grupo simétrico. 3. Produtos tensoriais; Técnicas de construção de representações. 4. Teoria geral de caracteres. 5. Caracteres sobre C de grupos finitos. 6. Teorema pa qb de Burnside.

  Pré-requisitos: Conhecimentos que normalmente se obtêm nas disciplinas de Álgebra Linear e Álgebra. Pressupõe-se também familiaridade com os rudimentos de teoria dos módulos, dados numa disciplina de Álgebra Comutativa.