Mestrado Matemática
Ano lectivo 2004/05


O DMUC oferece um novo Mestrado em Matemática, em que se destacam:

Temas de investigação: Álgebra, Análise, Análise Numérica, Ciências da Computação, Geometria, Optimização e Probabilidades e Estatística.

Horário - As aulas do Mestrado em Matemática decorrerão à segunda e terça-feira.

Calendário de exames

Disciplina Época normal Época de recurso
Matemática Financeira 1 de Julho de 2005, às 14h30m 21 de Julho de 2005, às 14h30m
Métodos Matemáticos da Engenharia 27 de Junho de 2005 18 de Julho de 2005
Simulação Numérica de Modelos 17 de Junho de 2005, às 9h 15 de Julho de 2005, às 9h
Teoria do Risco 20 de Junho de 2005, às 14h30m 11 de Julho de 2005, às 14h30m

Disciplinas do Curso de Especialização

Primeiro semestre Segundo semestre

OPÇÕES A

Amostragem e Sondagens

Computação Paralela

Equações com Derivadas Parciais

Geometria Simpléctica

Lógica Avançada

Métodos Matemáticos da Biologia

Representações de Grupos

Séries Temporais

Teoria da Optimização

OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura)

Análise de Fourier e Espaços Funcionais

Processos Estocásticos e Filas de Espera

Teoria das Variedades I

OPÇÕES A

Álgebras e Grupos de Lie

Computabilidade e Complexidade

Matemática Financeira

Modelos Matemáticos da Engenharia

Programação Funcional

Simulação Numérica de Modelos

Teoria de Galois sobre Anéis

Teoria do Risco

Teoria Geométrica do Controlo

OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura)

Optimização Discreta

Programação Não-Linear

Programação Orientada para Objectos

Teoria das Categorias

Topologia Algébrica

No curso de especialização, que funciona no primeiro ano, o aluno deverá obter 16 créditos correspondentes à aprovação em 4 (quatro) das 26 (vinte e seis) disciplinas oferecidas. Normalmente, cada aluno frequenta duas disciplinas em cada semestre sendo, no entanto, possíveis outras alternativas quanto ao número de disciplinas por semestre.

A escolha do percurso curricular é determinada de acordo com as opções de cada aluno, com aconselhamento da Comissão de Estudos Pós-Graduados, à qual compete aprovar cada trajecto individual.

O segundo ano é integralmente dedicado à elaboração da dissertação.

Programas resumidos das disciplinas:

Primeiro semestre

OPÇÕES A

Amostragem e Sondagens
Técnicas de amostragem (aleatória simples, estratificada, por grupos, por etapas). Estimação de parâmetros em cada caso. Sondagens.

Computação Paralela
I - Linguagens de Programação e ambiente Unix. Breve descrição da linguagem Fortran 90/95 (módulos, "operator overloading", pointers) e do ambiente Unix ("scripts" e "makefiles"). II - Programação Paralela. A necessidade de programação paralela. Modelos de programação: "data parallelism", "shared memory", "message passing". Máquinas "Multiple Instruction Multiple Data" (MIMD) e "Single Instruction Multiple Data" (SIMD). A GRID. O "cluster" do Centro de Física Computacional. Open MP, "Parallel Virtual Machine" (PVM) e a "biblioteca Message Passing Interface" (MPI). III - MPI. Descrição da biblioteca MPI. Exemplos utilizados na aprendizagem da programação paralelas: medição dos tempos de comunicação; cálculo do PI; método de Monte Carlo; resolução da equação de Poisson; o problema de N corpos; mecânica de fluidos. IV - Livrarias Paralelas

Equações com Derivadas Parciais
EDP's lineares elípticas de segunda ordem (existência; regularidade; princípios do máximo e desigualdade de Harnack; teoria de De Giorgi-Nash-Moser). EDP's lineares de evolução. Teoria dos semigrupos lineares. Tópicos de EDP's não-lineares: cálculo das variações; métodos de monotonia e do ponto fixo.

Geometria Simpléctica
Variedades simplécticas. Campos de vectores hamiltonianos. Acções simplécticas e hamiltonianas. Teorema de Noether. Redução de variedades simplécticas. Teorema de Marsden-Weinstein. Variedades de Poisson. Morfismos e automorfismos infinitesimais de Poisson. Estrutura local de folheação simpléctica de uma variedade de Poisson.

Lógica Avançada
Introdução histórica. Quatro temas da lógica moderna: teorias dos conjuntos, dos modelos, da recursão e da demonstração. Sintaxe e semântica, completude, Aritmética, teoremas de Goedel, aplicações.

Métodos Matemáticos da Biologia
O curso inclui o estudo analítico e a simulação numérica de um conjunto de modelos matemáticos entre os quais destacamos os relativos a: Dinâmica de Populações; Propagação de Doenças Infecciosas; Genética e Evolução; Biologia Celular e Molecular.

Representações de Grupos
Grupos e módulos. Representações matriciais e lineares de grupos; a álgebra de grupo; Teorema de Maschke.Módulos semi-simples; Teorema de Wedderburn e álgebras semi-simples. Produtos tensoriais e técnicas de construção de representações. Teoria geral de caracteres. Caracteres sobre C de grupos finitos; relações de ortogonalidade; subgrupos normais e tabelas de caracteres; caracteres induzidos. Teorema p^aq^b de Burnside.

Séries Temporais
Modelações lineares (auto-regressivas e médias móveis): análise probabilista, estatística e previsão. Introdução ao estudo da modelações não lineares (bilineares e condicionalmente heteroscedásticas).

Teoria da Optimização
Teoria poliedral (caracterizações, estrutura facial). Integralidade (unimodularidade, invólucro inteiro). Conjuntos convexos (interior relativo, polaridade, separação). Funções convexas (caracterizações diferencial e subdiferencial). Condições necessárias e suficientes de optimalidade, qualificações de restrições e dualidade. Introdução à análise de Pareto.

OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura)

Análise de Fourier e Espaços Funcionais
I- Alguns conceitos de Medida e Integração. II- Espaços Funcionais. III- Distribuições. IV- Séries de Fourier. V- Transformadas de Fourier (de funções e distribuições). VI- Espaços de Sobolev.

Processos Estocásticos e Filas de Espera
Introdução à teoria dos processos estocásticos: processos estocásticos de 2ª ordem; processos estocásticos estacionários; processos de incrementos independentes e estacionários. Cadeias de Markov de tempo discreto. Cadeias de Markov de tempo contínuo com aplicação à teoria das filas de espera. Introdução à teoria das filas de espera: modelos Poissonianos; breve referência a sistemas não Poissonianos.

Teoria das Variedades I
Variedades Diferenciáveis. Fibrados tangente e cotangente. Morfismos. Subvariedades. Álgebra de Lie dos campos de vectores. Rudimentos de álgebra exterior. Derivação de Lie. Fibrados Tensoriais.

Segundo semestre

OPÇÕES A

Álgebras e Grupos de Lie
Álgebras de Lie. Conceitos gerais. Álgebra envolvente universal. Álgebras de Lie solúveis, nilpotentes e semi-simples. Decomposição de uma álgebra de Lie semi-simples em subespaços raiz e sua classificação. Representações e subespaços peso. Grupos de Lie. Definição e exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Subálgebras de Lie e subgrupos de Lie. Aplicação exponencial. Acções de grupos de Lie.

Computabilidade e Complexidade
Funções recursivas. Modelos de Computação. Máquina universal de Turing. Problema da paragem. Tese de Church. Classes de complexidade computacional (tempo/espaço). Caracterizações implícitas.

Matemática Financeira
A matemática dos derivados financeiros (modelo do preço de um activo financeiro; modelo de Black-Scholes para opções europeias; opções americanas; modelos de taxas de juro; métodos binomiais). A matemática da selecção de carteiras (modelos associados a medidas de risco).

Modelos Matemáticos da Engenharia
Mecânica dos Fluidos (equações de Navier-Stokes; aplicações em Geofísica). Mecânica dos Sólidos (problemas de cascas, placas e vigas).

Programação Funcional
Conceitos Fundamentais; Tipos de dados simples; Listas; Árvores; Tipos Abstractos de Dados e Módulos; Eficiência; Listas infinitas; Monades.

Simulação Numérica de Modelos
Aplicação dos modelos numéricos com equações diferenciais ordinárias e com derivadas parciais, na resolução numérica de modelos matemáticos que surgem nas Ciências e nas Engenharias (Biologia, Ambiente, Indústria, etc).

Teoria de Galois sobre Anéis
I. Teoria de Galois sobre corpos: o Teorema de Galois clássico e o Teorema de Galois de Grothendieck; teoremas de Galois de dimensão infinita. II. Teoria de Galois sobre anéis: grupóides profinitos; teoria da descida para anéis; espectro de Pierce de um anel; Teorema de Galois para anéis.

Teoria do Risco
O processo de risco. Modelo de risco colectivo. Princípios de cálculo do prémio. Ruína. Credibilidade. Aplicações da teoria do risco a problemas de seguros.

Teoria Geométrica do Controlo
Estudo da teoria qualitativa dos sistemas de controlo não lineares. Tópicos a abordar: sistemas de controlo não lineares, órbitas de famílias de campos de vectores, conjuntos atingíveis, acessibilidade e controlabilidade, equivalência de sistemas de controlo, controlo óptimo, observabilidade.

OPÇÕES B (comuns ao 4º ano da licenciatura)

Optimização Discreta
I - Formulações algébricas de problemas de Optimização Discreta. II - Relaxações (lineares, combinatórias e Lagrangeanas; dualidade em Optimização Discreta). III - Conjuntos Poliédricos Integrais (integralidade dual total e unimodularidade total). IV - Submodularidade (algoritmo greedy e matroides). V - Emparelhamentos e Afectação (algoritmos para os emparelhamentos de cardinalidade máxima e de peso máximo e para o problema da afectação) VI - Introdução à Programação Dinâmica (aplicacão aos problemas lot-sizing e da mochila). VII - Algoritmos Branch and Bound e de Planos Cortantes.

Programação Não-Linear
I - Optimizacão Não Linear sem Restrições (fundamentos, métodos de procura unidireccional, métodos de região de confiança, métodos de quasi-Newton). II - Teoria da Optimização Não Linear com Restricões (condições necessárias de primeira e segunda ordem, condições suficientes de segunda ordem). III - Optimização Não Linear com Restrições (introducão aos métodos de penalidade, de barreira e de Lagrangeano aumentado e/ou introdução à programação quadrática e aos métodos de programação sequencial quadrática). IV - Problemas de Optimização Não Linear que aparecem frequentemente em Ciências e Engenharia (problemas de mínimos quadrados não lineares e de controlo óptimo).

Programação Orientada para Objectos
I - Introdução e Conceitos Fundamentais. II - A Linguagem de Programação C++. III - Classes, Objectos e Mensagens. IV - Relações entre Classes, Classes Derivadas, Mecanismos de Herança e Polimorfismo. V - Classes Genéricas. VI - Estudo de Exemplos de Aplicação. VII - Métodos de Análise e Desenvolvimento - Breve Introdução.

Teoria das Categorias
Categorias, functores e transformações naturais. Epimorfismos, monomorfismos, subobjectos e elementos. Princípio da dualidade categórica. Lema de Yoneda. Limites e colimites. Functores adjuntos. Categorias cartesianas fechadas.

Topologia Algébrica
Homotopia. Grupo Fundamental. Coberturas. Grupos de Homotopia.