Programas resumidos das disciplinas:

1º SEMESTRE

Álgebras e Grupos de Lie (Doutora Helena Albuquerque)
Álgebras de Lie. Conceitos gerais. Álgebra envolvente universal. Álgebras de Lie solúveis, nilpotentes e semi-simples. Decomposição de uma álgebra de Lie semi-simples em subespaços raiz e sua classificação. Representações e subespaços peso. Grupos de Lie. Definição e exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Subálgebras de Lie e subgrupos de Lie. Aplicação exponencial. Acções de grupos de Lie.

Amostragem e Sondagens (Doutor Paulo Eduardo Oliveira)
Planos de amostragem. Inferência. Estimadores, estimador de Horvitz-Thompson, optimalidade. Amostragem aleatória simples e algumas variantes. Medidas auxiliares, outros estimadores.

Análise Real (Doutora Isabel Narra de Figueiredo)
Elementos de Medida e Integração. Espaços de Banach: teoremas fundamentais. Topologias fracas; espaços reflexivos e separáveis. Espaços L_p.

Computação Paralela (Doutor Orlando Neves de Oliveira)
I - A necessidade de programação paralela e modelos de programação: "data parallelism", "shared memory", "message passing". A concepção de programas paralelos: partição, comunicação, sincronização, "load balancing", granularidade, I/O. Análise de performance e optimização.
II - Open MP. O modelo de programação em OpenMP. Directivas. Multiplicação de matrizes e resolução de sistemas lineares com OpenMP.
III - A biblioteca "Message Passing Interface" (MPI). As rotinas fundamentais. Comunicação ponto-a-ponto: comunicação síncrona e assíncrona. Comunicações colectivas. Variáveis compostas. Grupos e Redes virtuais. MPI-2. Análise de performance e optimização com MPI.
IV - Aplicações: medição dos tempos de comunicação; cálculo do PI; geradores de números aleatórios; método de Monte Carlo; resolução da equação de Poisson; o problema de N corpos; mecânica de fluidos; álgebra linear.

Equações com Derivadas Parciais (Doutor Manuel Portilheiro)
EDP's lineares elípticas de segunda ordem (existência; regularidade; princípios do máximo e desigualdade de Harnack; teoria de De Giorgi-Nash-Moser). EDP's lineares de evolução. Teoria dos semigrupos lineares. Tópicos de EDP's não-lineares: cálculo das variações; métodos de monotonia e do ponto fixo.

Lógica Avançada (Doutor Reinhard Kahle)
Introdução histórica. Quatro temas da lógica moderna: teorias dos conjuntos, dos modelos, da recursão e da demonstração. Sintaxe e semântica, completude, Aritmética, teoremas de Goedel, aplicações.

Métodos Matemáticos da Biologia (Dra. Sílvia Barbeiro)
O curso inclui o estudo analítico e a simulação numérica de um conjunto de modelos matemáticos entre os quais destacamos os relativos a: Dinâmica de Populações; Propagação de Doenças Infecciosas; Genética e Evolução; Biologia Celular e Molecular.

Processos Estocásticos (Doutora Ana Cristina Rosa)
Introdução à teoria dos processos estocásticos. Cadeias e processos de Markov. Processos de renovação. Martingalas.

Representações de Grupos (Doutora Ana Paula Santana)
Grupos e módulos. Representações matriciais e lineares de grupos; a álgebra de grupo; Teorema de Maschke.Módulos semi-simples; Teorema de Wedderburn e álgebras semi-simples. Produtos tensoriais e técnicas de construção de representações. Teoria geral de caracteres. Caracteres sobre C de grupos finitos; relações de ortogonalidade; subgrupos normais e tabelas de caracteres; caracteres induzidos. Teorema p^aq^b de Burnside.

Séries Temporais (Doutoras Nazaré Lopes e Esmeralda Gonçalves)
Modelações lineares (auto-regressivas e médias móveis): análise probabilista, estatística e previsão. Introdução ao estudo da modelações não lineares (bilineares e condicionalmente heteroscedásticas).

Teoria da Optimização (Doutor José Luís Santos)
Teoria poliedral (caracterizações, estrutura facial). Integralidade (unimodularidade, invólucro inteiro). Conjuntos convexos (interior relativo, polaridade, separação). Funções convexas (caracterizações diferencial e subdiferencial). Condições necessárias e suficientes de optimalidade, qualificações de restrições e dualidade. Introdução à análise de Pareto.

Variedades Diferenciáveis (Doutor Francisco Craveiro de Carvalho)
1- Variedades diferenciáveis.
2- Topologia das variedades diferenciáveis.
3- Espaço tangente.
4- Imersões.
5- Submersões.
6- Campos de vectores.
7- Grupos de Lie.

2º SEMESTRE

Computabilidade e Complexidade (Doutor Reinhard Kahle)
Funções recursivas. Modelos de Computação. Máquina universal de Turing. Problema da paragem. Tese de Church. Classes de complexidade computacional (tempo/espaço). Caracterizações implícitas.

Geometria Algébrica (Doutor Jorge Neves)
1- Espaço projectivo.
2- Variedades projectivas.
3- Ideal homogéneo.
4- Topologia de Zariski.
5- Variedades afins.
6- Teorema dos zeros de Hilbert.
7- Espaço tangente e dimensão.
8- Polinómio de Hilbert e grau de uma variedade projectiva.
9- Morfismos de variedades.
Temas opcionais de leitura (para o mestrado):
a) Aplicações bi-racionais.
b) Espectro de um anel.
c) Feixes coerentes.
Bibliografia fundamental:
M. Reid; Undergraduate Algebraic Geometry; LMS Student Texts, CUP.
I. Shafarevich; Basic Algebraic Geometry 1; Springer.
R. Hartshorn; Algebraic Geometry; Springer.

Geometria Simpléctica (Doutora Joana Nunes da Costa)
Variedades simplécticas. Campos de vectores hamiltonianos. Acções simplécticas e hamiltonianas. Teorema de Noether. Redução de variedades simplécticas. Teorema de Marsden-Weinstein. Variedades de Poisson. Morfismos e automorfismos infinitesimais de Poisson. Estrutura local de folheação simpléctica de uma variedade de Poisson.

Matemática Financeira (Doutor Luís Nunes Vicente)
Introdução à Matemática dos Derivados Financeiros: Contratos Forward, Contratos de Futuros, Arbitragem, Opções; Modelação (Estocástica e Diferencial Estocástica) do Valor de um Activo Financeiro. O Modelo de Black-Scholes.
A Fórmula de Black-Scholes. Paridade Put-Call e Delta-Hedging. Risco Neutral e Volatilidade Implicada. Opções sobre Activos que Pagam Dividendos.
Preços de Contratos Forward e de Contratos de Futuros e de Opções sobre Futuros.
Opções Americanas. Modelos de Taxas de Juro. Opções sobre Obrigações e outros
Produtos sobre Taxas de Juro.
Introdução à Matemática da Selecção de Carteiras.
Requisitos: conhecimentos básicos de análise vectorial, probabilidades e estatística, equações com derivadas parciais e optimização.

Modelos Matemáticos da Engenharia (Doutor Manuel Portilheiro)
Mecânica dos Fluidos (equações de Navier-Stokes; aplicações em Geofísica). Mecânica dos Sólidos (problemas de cascas, placas e vigas).

Optimização Não-Linear (Doutora Marta Pascoal)
Métodos numéricos para optimização não linear sem restrições (condições de optimalidade, procura unidireccional, regiões de confiança). Métodos numéricos para optimização não linear com restrições (condições de optimalidade, penalização, barreira e Lagrangeano aumentado; pontos interiores; programação quadrática e programação sequencial quadrática). Resolução computacional de problemas de controlo e projecto óptimos e de identificação de parâmetros.

Programação Funcional (Doutor Pedro Quaresma)
Conceitos Fundamentais. Tipos de dados simples. Listas. Árvores. Tipos Abstractos de Dados e Módulos. Eficiência. Listas infinitas. Monades.

Simulação Numérica de Modelos (Doutores Adérito Araújo e Ercília Sousa)
Aplicação dos modelos numéricos com equações diferenciais ordinárias e com derivadas parciais, na resolução numérica de modelos matemáticos que surgem nas Ciências e nas Engenharias (Biologia, Ambiente, Indústria, etc).
1- Integração Geométrica: simetria e reversibilidade, conservação de invariantes, análise regressiva do erro.
2- Técnicas de Fourier em problemas de evolução: Análise de Fourier discreta, transformadas rápidas de Fourier, métodos espectrais.
3- Leis de conservação, equação de Burger, Métodos de Volumes Finitos.
4- Equações elípticas, Equação de Poisson, Métodos Multigrid.

Teoria de Galois sobre Anéis (Doutora Maria Manuel Clementino)
I. Teoria de Galois sobre corpos: o Teorema de Galois clássico e o Teorema de Galois de Grothendieck; teoremas de Galois de dimensão infinita.
II. Teoria de Galois sobre anéis: grupóides profinitos; teoria da descida para anéis; espectro de Pierce de um anel; Teorema de Galois para anéis.

Teoria do Risco (Doutoras Maria Emília Nogueira e Ana Cristina Rosa)
Teoria da utilidade e a actividade seguradora. Princípios de cálculo do prémio. Modelos de risco individual e colectivo. O processo de reserva de risco. Teoria da ruína. Teoria da credibilidade.

Teoria Geométrica do Controlo (Doutora Fátima Leite)
Estudo da teoria qualitativa dos sistemas de controlo não lineares. Tópicos a abordar: sistemas de controlo não lineares, órbitas de famílias de campos de vectores, conjuntos atingíveis, acessibilidade e controlabilidade, equivalência de sistemas de controlo, controlo óptimo, observabilidade.

Visualização Computacional (Doutor José Carlos Teixeira)
Introdução à Computação Gráfica.
Sistemas Gráficos Interactivos: Componentes, Primitivas gráficas e seus atributos, Visualização 2D e 3D, Interacção.
Transformações Geométricas: Transformações Euclidianas, Afins e Projectivas.
Modelação Geométrica: Malhas poligonais; Estruturas de dados e Esquemas de Representação; Modelação de Curvas e Superfícies; Modelação de Sólidos.
Representações Realistas: Visibilidade; Cor; Modelos de iluminação.
Visualização de Dados e Informação: Representação visual de informação quantitativa e qualitativa.
Introdução à Realidade Virtual.