• Fracção Iluminada da Lua

    A fracção iluminada da Lua, k, depende do ângulo fásico i, assim vem:

k = (1 + cosi)/2

    Este valor representa não só a razão entre a área iluminada e a área total, assim como a razão entre o comprimento iluminado do diâmetro perpendicular à linha dos Pólos e o diâmetro completo.

    O ângulo fásico i da Lua, segundo um observador geocêntrico, pode ser determinado através do cálculo da elongação y da Lua em relação ao Sol:

cosy = sind₀sind + cosd₀cosdcos(a₀-a)

cosy = cosb cos(l-l₀)

    onde:    a₀, d₀, l₀: ascensão recta geocêntrica, a declinação e a longitude do Sol;

                a, d, l: ascensão recta geocêntrica, a declinação e a longitude da Lua;

                b: latitude geocêntrica da Lua

    Assim:

tani = Rsiny/(D-Rcosy)

    onde R é a distância da Terra ao Sol e D a distância da Terra à Lua, ambas na mesma unidade.

    Os ângulos y e i estão sempre compreendidos entre 0 e 180 graus. Assim, uma vez determinado i, a fracção iluminada k pode ser facilmente obtida pelas fórmulas anteriores.

    É no entanto evidente que para o cálculo de k não é necessário a determinação rigorosa das posições geocêntricas da Lua e do Sol. No caso de não ser necessária muita precisão, é suficiente considerar-se cosi = -cosy, visto que o erro final nunca irá exceder 0.0014. Com uma precisão ainda menor, mas obtendo ainda um bom resultado, pode-se desprezar a latitude da Lua.

    Obtém-se assim um valor aproximado de i através de:

i=180⁰-D-6⁰.289sinM'+2⁰.100sinM-1⁰.274sin(2D-M')

-0⁰.658sin2D-0⁰.214sin2M'-0⁰.110sinD

    Neste caso, as posições geocêntricas do Sol e da Lua não serão necessárias.

    • Ângulo Posição do limbo mais brilhante da Lua:

    Este ângulo é o ângulo posição c do ponto médio do limbo iluminado da Lua (ponto C da imagem anterior). Pode ser obtido por (a expressão que se segue é ainda válida para Planetas):

tanc = cosd₀sin(a₀ - a)/(sind₀cosd - cosd₀sindcos(a₀ -a))

    mantendo a nomenclatura adoptada anteriormente.

    O ângulo c durante o primeiro quarto pertence à vizinhança de 270^o, enquanto que após à lua cheia aproxima-se dos 90⁰.

    Considerando c como o ângulo posição do ponto médio do limbo brilhante, então o ângulo posição dos pólos será (c-90⁰) e (c+90⁰).

    A grande vantagem que se obtém é conseguir definir sem qualquer ambiguidade o limbo iluminado da Lua.

    • Lua Nova, Quarto Crescente, Lua Cheia e Quarto Minguante:

    Por definição, as datas de Lua Nova, Quarto Crescente, Lua Cheia e Quarto Minguante são as datas em que o excesso da longitude aparente geocêntrica da Lua relativamente à longitude aparente geocêntrica dos Sol é respectivamente 0°, 90°, 180° e 270°.

    Nesta secção vai-se descrever o procedimento que se deve seguir para calcular as datas de Lua Nova, sendo que para as restantes fases este torna-se análogo.

    Para ocorrer Lua Nova as longitudes eclípticas do Sol e da Lua têm que coincidir. O cálculo acima referido exige a determinação da diferença entre as longitudes médias (D) e a diferença entre as perturbações periódicas, sendo a diferença das longitudes eclípticas a soma destes dois valores.

l_L - l_S = D + (Dl_L - Dl_S)

    O valor para D ficará portanto:

D = D₀ + D₁T

= 297º.85027 + 445267º.11135T

    onde:    T=(DJ-2451545)/36525;

                D₁: Modificação em D num século Juliano.

    Um resultado que simplifica o cálculo das Luas Novas ao longo do ano é que o intervalo médio entre duas Luas Novas consecutivas é aproximadamente 29.53 dias.

    As perturbações periódicas tanto da órbita solar como da órbita da Lua são mínimas num pequeno intervalo de tempo Dt, o que significa que nesse intervalo (Dl_L - Dl_S) essencialmente varia D₁´Dt/36525. Uma aproximação inicial t₀, para o tempo da Lua Nova pode então ser melhorada da seguinte forma:

t₁ = t₀ - [D(t₀)+(Dl_L(t₀) - Dl_S(t₀))]/D₁ ´ 36525

    Se se repetir sucessivamente este processo, é possível determinar com bastante exactidão o tempo das Luas Novas. Para optimizar o cálculo pode-se ainda determinar (l_L - l_S) em função das longitudes e anomalias do Sol e da Lua. Como boas aproximações podem-se utilizar os seguintes resultados:

l_L = 22640''sin(l) - 4586''sin(l-2D) + 2370''sin(2D) +

+ 769''sin(2l) - 668''sin(l') - 412''sin(2F) - 212sin(2l-2D) -

- 206''sin(l+l'-2D) + 192''sin(l+2D) - 165''sin(l'-2D) +

+ 148''sin(l-l') - 125''sin(D) - 110''sin(l+l') - 55''sin(2F-2D)

l_S = 6893''sin(l') + 72''sin(2l')

    sendo:    l = 134º.96292 + 477198º.86753T + 33''25T² (Anomalia Média da Lua);

                 l' = 357º.52543 + 35999º.04944T - 0''.58T² (Anomalia Média do Sol);

                 F = 93º.27283 + 483202º.01873T - 11''.56T² (Dist. Média à Lua desde o nodo ascendente).

    É possível, recorrendo também aos mesmos parâmetros determinar a Latitude Eclíptica da Lua, podendo portanto,  definir-se da seguinte forma:

b_L » 18520''sin(F+Dl) - 526''sin(F-2D)