10(o) ANO:Tema I - Geometria no Plano e no Espaço I

10(o) ANO
Tema I - Geometria no Plano e no Espaço I (36 aulas)
O ensino da Geometria reveste-se da maior importância devendo desenvolver no aluno uma intuição geométrica e um raciocínio espacial assim como capacidades para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, usar e aplicar a Matemática, formular e resolver problemas abstractos ou numa perspectiva de modelação matemática. Deve ainda desenvolver no aluno capacidades de organização e de comunicação quer oral quer escrita.
O professor deve no início da unidade propor aos alunos actividades que permitam recordar e ampliar os conhecimentos adquiridos no 3(o) ciclo de modo a estabelecer uma boa articulação entre este ciclo e o ensino Secundário.
Tanto em geometria plana como em geometria do espaço todo o ponto de vista axiomático é excluído devendo a prática com as figuras ter um papel central e decisivo no ensino das noções matemáticas que estão em jogo. O professor deve propor actividades de construção, de manipulação de modelos e ligadas a problemas históricos fazendo surgir a partir do problema e do caminho que se faz para a sua resolução uma grande parte dos resultados teóricos que pretende ensinar ou recordar.
A exploração de programas adequados no computador pode ajudar eficazmente o aluno a desenvolver a percepção dos objectos do plano e do espaço.
Devem explorar-se sempre que possível as conexões da Geometria com outras áreas da Matemática e o seu desenvolvimento deve prolongar-se noutros temas.

Desenvolvimento Resolução
de problemas de geometria no plano e no espaço

(Pretende-se que os problemas a propor promovam o desenvolvi-mento de capacidades de experi-mentação, raciocínio geométrico e a análise crítica, conduzindo ao esta-belecimento de conjecturas e à sua verificação.)

Alguns tópicos de geometria a considerar em situações concretas na resolução de problemas podem ser por exemplo :
* Modos de definir um plano.
*Propriedades usuais do paralelismo de duas rectas, de dois planos, de uma recta e um plano, assim como as propriedades usuais de perpendicularidade de duas rectas, de uma recta e de um plano.
*Intersecção de sólidos por um plano dado.
*Construção de uma representação da secção obtida.
*Estabelecimento de relações métricas entre figuras, nomeadamente entre medidas lineares, áreas e volumes.

Indicações Metodológicas Este tema pode ser introduzido a partir de actividades em que os alunos reflictam na organização do espaço e no modo como algumas propriedades dos seus objectos elementares (pontos , rectas e planos ) permitem validar conjecturas.
O professor pode propor ao aluno actividades com poliedros (entre outros, estudar os cinco sólidos de Platão: cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro, dodecaedro ). Partindo dos seus modelos podem ser estudadas as propriedades dos polígonos que constituem as suas faces . É importante que os alunos recordem as definições dos triângulos, quadriláteros e polígonos usuais e com base nestas descubram e verifiquem novas propriedades . Os alunos devem ser capazes de desenhar exemplos representativos de cada quadrilátero bem como dos polígonos regulares.
O aluno deve ser levado a reconhecer que quando uma figura do espaço está contida num plano se podem utilizar neste plano todas as propriedades da geometria plana.
Os problemas a propor aos alunos não devem ser numerosos. Devem ser ricos e não se reduzir a propostas fragmentadas. É mais importante um problema bem explorado do que muitos tratados apressadamente.
As actividades devem estar ligadas à manipulação de modelos geométricos e o professor deve insistir para que o aluno exprima correctamente os seus raciocínios, oralmente e por escrito, através de pequenas composições. Também se pretende que os alunos realizem pequenas investigações.
Com os sólidos usuais, pretende-se que o aluno fique a saber desenhar representações planas destes, descrever a intersecção de um desses sólidos por um plano dado e saber construir e desenhar uma representação da intersecção obtida, utilizando as regras da perspectiva cavaleira (o aluno deve começar por modelar a situação por exemplo com sólidos de arestas, com sólidos transparentes ou de qualquer outro modo sugestivo). Devem ser estudadas as propriedades do polígono obtido como secção.
A resolução de problemas numéricos ligados ao calculo e comparação de distâncias, áreas e volumes em configurações do plano ou do espaço poderá constituir uma oportunidade para o aluno voltar a trabalhar com números irracionais e/ou valores aproximados recorrendo à calculadora. O aluno deve ser estimulado a recorrer ao calculo mental e à estimativa para confirmar se os valores encontrados são aceitáveis.

Desenvolvimento
Geometria Analítica
*O método cartesiano para estudar geometria no plano e no espaço:
*Referenciais cartesianos ortogonais e monométricos no plano e no espaço. Correspondência entre o plano e R2, entre o espaço e R3. Conjuntos de pontos e condições. Distância entre dois pontos. Circunferência, círculo, elipse e mediatriz; Superfície esférica, esfera e plano mediador.

*Vectores livres no plano e no espaço:
*Componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado do plano
*Componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado do espaço.
*Adição de vectores e multiplicação por um escalar; propriedades. Colinearidade de dois vectores
*Soma de um ponto com um vector. Diferença de dois pontos.
*Norma de um vector.
*Coordenadas do ponto médio de um segmento de recta.

*Equação vectorial da recta no plano e no espaço.
*Equação reduzida da recta no plano e equação x=x0 .

Indicações Metodológicas
O professor deve propor ao aluno actividades que o levem a sentir a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano quer no espaço. O professor pode fornecer figuras e/ou umreferencial numa grelha e pedir a colocação da figura ou do referencial para obter as melhores coordenadas experimentando com várias figuras no plano e no espaço.
Será vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou a unidade, recorrendo aos modelos já utilizados para fazer aparecer as novas noções (referencial, coordenadas , vectores , ... ) levando o aluno a justificar determinadas proposições por mais de um processo. Só mais tarde deve recorrer a desenhos em perspectiva.
No plano, o aluno deve descobrir as relações entre as coordenadas de pontos simétricos relativamente ao eixo das abcissas, ao eixo das ordenadas e à bissectriz dos quadrantes ímpares. No espaço, o aluno deve descobrir as relações entre pontos simétricos relativamente aos planos coordenados e aos eixos coordenados.
É importante aproveitar as analogias mas também salientar as diferenças no tratamento analítico do plano e do espaço .
Pretende-se que o aluno deduza propriedades de figuras geométricas (triângulos e quadriláteros) usando vectores e explore a ligação do cálculo vectorial com a Física.
A circunferência, a elipse e a superfície esférica devem ser tratadas essencialmente como lugares geométricos sem a preocupação de fazer múltiplos exercícios que envolvam apenas as suas equações. O mesmo para a mediatriz e o plano mediador.
A equação da elipse obtém-se facilmente a partir da circunferência por meio de uma mudança afim de uma das coordenadas.
Não devem ser feitos exercícios repetitivos com as equações da recta, da elipse ou da circunferência.
O professor deve incentivar o aluno a fazer em todas as situações uma figura geométrica de modo a tirar proveito da visualização do problema e a desenvolver a sua capacidade de representação não deixando que o aluno se limite à resolução exclusiva de equações e à utilização de fórmulas . Além do mais o aluno deve descrever com algum detalhe o processo utilizado, justificando adequadamente. n

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