11(o) ANO:Tema II - Introdução ao Cálculo Diferencial I

11(o) ANO
Tema II - Introdução ao Cálculo Diferencial I - Funções racionais e com radicais. Taxa de variação/Derivada (36 aulas)
Com o estudo numérico e gráfico de novas funções - racionais e envolvendo radicais - aplicam-se os conhecimentos do 10(o) ano relativos a funções. Tal como no 10(o) ano privilegiam-se funções que relacionam variáveis com significado concreto. As operações com funções são abordadas neste Tema. Serão estudadas funções inversas e funções compostas. É introduzida a noção de taxa média de variação e taxa de variação/derivada recorrendo a um uso informal da noção de limite.

Pré-Requisitos:
Os alunos devem conhecer a função afim e a função definida por f(x) = k/x, com k>0 e x>0. Todo o Tema II - Funções e Gráficos do 10(o) ano. Trigonometria do tema anterior.

Desenvolvimento
*Estudo intuitivo tanto a partir de um gráfico particular, como usando calculadora gráfica de propriedades das funções e dos seus gráficos (domínio, contradomínio, pontos notáveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem, assímptotas, limites nos ramos infinitos) e análise dos efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos das funções (considerando a variação para cada para cada parâmetro separadamente) para as seguintes funções:
i) funções racionais definidas por ;
ii) funções definidas por dois ou mais ramos (cujo domínio é um intervalo ou união de intervalos).
*Uso da calculadora para uma aproximação experimental da noção de limite, de -(inf) e +(inf).
*Referência à hipérbole, informação das suas principais propriedades e da sua importância histórica.
*Operações com funções (soma, diferença, produto, quociente, composição) num contexto do estudo de funções racionais envolvendo polinómios do 2(o) e 3(o) grau.
*Resolução de problemas envolvendo as funções anteriores e as estudadas em anos anteriores, tanto sob os aspectos analíticos como numéricos e gráficos.

Indicações Metodológicas
Valem aqui indicações metodológicas semelhantes às dadas para o Tema II - Funções e Gráficos do 10(o) ano, pelo que não serão repetidas.

No estudo das propriedades das funções os alunos devem ser obrigados a utilizar uma linguagem cada vez mais precisa.

A noção de limite deve ser utilizada de forma intuitiva (incluindo a de limite lateral esquerdo e direito); será formalizada mais tarde. Neste contexto devem ser introduzidos os símbolos +(inf) e -(inf), devendo chamar-se a atenção para o facto de não serem números reais, mas apenas símbolos com um significado preciso.

Retomando os conhecimentos de polinómios, o aluno deverá ser capaz de transformar expressões como em ou em
e observar que, do ponto de vista computacional, normalmente se ganha em precisão, pois se efectua um número mais reduzido de operações. Por outro lado esta simplificação permite que se estude o comportamento no infinito sem necessidade de recorrer ao gráfico. Os alunos devem usar este processo e o gráfico para lá chegar e em seguida verificar pelo outro processo. Os alunos devem poder concluir intuitivamente o limite no infinito de uma função racional.

A resolução de equações e inequações fraccionárias apenas deve aparecer num contexto de resolução de problemas, por exemplo. ligados ao estudo de gráficos ou de modelação matemática.

Desenvolvimento
*Noção de taxa média de variação; cálculo da taxa média de variação. Noção de taxa de variação; obtenção da taxa de variação (valor para que tende a t.m.v. quando a amplitude do intervalo tende para zero) em casos simples. Cálculo aproximado da taxa de variação. Exemplos concretos, e em particular, envolvendo velocidades e acelerações.
*Interpretação geométrica da taxa de variação; definição de derivada (recorrendo à noção intuitiva de limite).
*Constatação, por argumentos geométricos, de que:
i) se a derivada é positiva num intervalo aberto a função é crescente e se a derivada é negativa num intervalo aberto a função é decrescente;
ii) se a função é derivável num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto então a derivada é nula nesse ponto (análise dos casos e |x|).
*Dexterminação da derivada em casos simples (função afim, funções polinomiais do 2(o) e 3(o) grau, função racional do 1(o) grau, função módulo)

*Resolução de problemas envolvendo derivadas num contexto de aplicações.

*Operações com funções: inversão. Funções com radicais quadráticos ou cúbicos. Operações com radicais quadráticos e cúbicos e com potências de expoente fraccionário. Simplificações de expressões com radicais (não incluindo a racionalização)

*Uma aplicação das operações com radicais: obtenção da equação da elipse a partir da sua propriedade focal.

Indicações Metodológicas
Para calcular derivadas de funções simples, não é necessário invocar questões especiais sobre limites, basta recorrer à noção intuitiva.

No caso da função inversa os alunos devem analisar os casos em que será possível inverter uma função (poderá ser introduzida a noção de injectividade, apenas como noção auxiliar) e devem constatar a relação entre os gráficos de uma função e da sua inversa.
Será necessário introduzir a noção de raiz índice n. Tal deverá ser feito de forma algébrica. Só depois se falará na função inversa da função potência.
Grau de dificuldade a não ultrapassar: ,

Voltar à área de Ensino da Matemática

VOLTAR AO PRINCíPIO DE TUDO

Original file name: parte15rtf

This file was converted with TextToHTML - (c) 1995 Logic n.v. - Kris Coppieters